与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1\cdot2\cdot3 + 2\cdot3\cdot4 + 3\cdot4\cdot5 + \cdots + n(n+1)(n+2)$ で定義されています。つまり、$k$ 番目の項は $k(k+1)(k+2)$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1\cdot2\cdot3 + 2\cdot3\cdot4 + 3\cdot4\cdot5 + \cdots + n(n+1)(n+2)$ で定義されています。つまり、$k$ 番目の項は $k(k+1)(k+2)$ で表されます。

2. 解き方の手順

この和を $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)$ と表します。まず、各項を展開します。

$k(k+1)(k+2) = k(k^2 + 3k + 2) = k^3 + 3k^2 + 2k$

したがって、求める和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k$

ここで、次の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

これらの公式を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right) + 2\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)$

$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)$

$= \frac{n(n+1)}{4}[n(n+1) + 2(2n+1) + 4]$

$= \frac{n(n+1)}{4}[n^2 + n + 4n + 2 + 4]$

$= \frac{n(n+1)}{4}[n^2 + 5n + 6]$

$= \frac{n(n+1)}{4}(n+2)(n+3)$

$= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$