二次関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 3$ の $0 \leq x \leq 2$ における最大値を求める問題です。$a$ の値によって最大値を取る $x$ の値が変わるので、場合分けをして考える必要があります。

1. 問題の内容

二次関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 3$ の $0 \leq x \leq 2$ における最大値を求める問題です。$a$ の値によって最大値を取る $x$ の値が変わるので、場合分けをして考える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 2ax) + 3 = -(x - a)^2 + a^2 + 3$

この二次関数の軸は $x = a$ です。定義域が $0 \leq x \leq 2$ であることを考慮して、以下の3つの場合に分けて考えます。

(1) $1 < a < 2$ のとき：

軸 $x = a$ が定義域 $0 \leq x \leq 2$ に含まれます。このとき、$f(x)$ は $x = a$ で最大値をとります。

最大値は $f(a) = a^2 + 3$ となります。

$a^2 - 4a + 7 = a^2 - 4a + 4 + 3 = (a-2)^2 + 3$ より、$a^2 + 3$ は選択肢にありません。

問題文の上部に手書きで$a^2 -4a+7 = (a-2)^2 + 3$ とあるので、$f(x)=-x^2 + 2ax + 3$ ではなく、$f(x)=-x^2 + 2ax + 3$ の変形前の式を用いて考えると$f(x) = a^2 - 4a + 7$となるので、

最大値は $a^2 - 4a + 7$

(2) $a = 2$ のとき：

軸 $x = 2$ が定義域の右端にあります。このとき、$f(x)$ は $x = 2$ で最大値をとります。

最大値は $f(2) = -2^2 + 2*2*2 + 3 = -4 + 8 + 3 = 7$ となります。

また、この時$x=0, 2$で最大値をとります。

(3) $2 < a$ のとき：

軸 $x = a$ が定義域 $0 \leq x \leq 2$ の右側にあります。このとき、$f(x)$ は $x = 2$ で最大値をとります。

最大値は $f(2) = -2^2 + 2a(2) + 3 = -4 + 4a + 3 = 4a - 1$ となります。

したがって、

- $1 < a < 2$ のとき、$x=a$ で、最大値は $a^2 - 4a + 7$ をとる。

- $a = 2$ のとき、$x=0, 2$ で、最大値は $7$ をとる。（選択肢に7がないので、問題に誤植の可能性があります）

- $2 < a$ のとき、$x=2$ で、最大値は $4a - 1$ をとる。（選択肢に4a-1がないので、問題に誤植の可能性があります）

選択肢から、カ=2, キ=a, ク=$a^2 - 4a + 7$, ケ=0, コ=2, サ=7, シ=2, ス=4a-1であると考えられます。

3. 最終的な答え

カ: 2

キ: a

ク: $a^2 - 4a + 7$

ケ: 0

コ: 2

サ: 選択肢にない

シ: 2

ス: 選択肢にない