与えられた条件の下で、ある関数の最大値を求める問題です。関数の形は明示されていませんが、$x$ の値域が与えられ、その値域における最大値とその時の $x$ の値を、$a$ の値によって場合分けして答える必要があります。$a$ の範囲によって、$x$ の値($\text{キ}$、$\text{ケ}$、$\text{コ}$、$\text{シ}$)と、その時の最大値 ($\text{ク}$、$\text{サ}$、$\text{ス}$)を求める必要があります。選択肢の中から適切な答えを選びます。

1. 問題の内容

与えられた条件の下で、ある関数の最大値を求める問題です。関数の形は明示されていませんが、$x$ の値域が与えられ、その値域における最大値とその時の $x$ の値を、$a$ の値によって場合分けして答える必要があります。$a$ の範囲によって、$x$ の値($\text{キ}$、$\text{ケ}$、$\text{コ}$、$\text{シ}$)と、その時の最大値 ($\text{ク}$、$\text{サ}$、$\text{ス}$)を求める必要があります。選択肢の中から適切な答えを選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた選択肢から、$a$ の値によって変わりうる値、つまり $a$ を含む式を最大値として持つ場合を考えます。$a^2 - 4a + 7$ という式があります。この式を平方完成すると、

$a^2 - 4a + 7 = (a - 2)^2 + 3$

となります。この式は、$a = 2$ のとき最小値3をとり、それ以外の$a$に対しては3より大きな値をとります。また、この式は下に凸の放物線であるため、$a$ が $2$ から離れるほど大きな値を持ちます。

次に、$x$ の範囲ですが、具体的な範囲は明記されていません。しかし、$1 < a < \text{カ}$、$a = \text{カ}$、$\text{カ} < a$ という条件から、$\text{カ}$ の値が重要であることが分かります。

選択肢の中に「2」があるので、$\text{カ} = 2$ と仮定して考えてみます。

* $1 < a < 2$ のとき:

$x = a$ で最大値 $a^2 - 4a + 7$ をとると仮定します。

この場合、キ = a, ク = a^2 - 4a + 7 となります。

* $a = 2$ のとき:

$x = \text{ケ}, \text{コ}$ で最大値 $\text{サ}$ をとると仮定します。

上の場合分けより、$a = 2$ の時、$a^2 - 4a + 7 = (2-2)^2 + 3 = 3$ なので、サ = 3 となります。

また、条件より ケ < コ である必要があります。$x = a = 2$ が頂点の$x$座標であるから、ケ = 1, コ = a と考えられます。もしくは ケ = 1, コ = 3 等も考えられますが、いずれにしても選択肢に該当するものはないので、仮定が間違っていると考えられます。

別の方針として、$a = 2$ のとき、最大値が $x=2$でとられ、その値は $(2-2)^2+3 = 3$ であるとします。したがって、ケ、コは $x=2$ の前後の適当な値である必要はなく、ケ = 1, コ = 2 である必要もありません。

* $2 < a$ のとき:

$x = a$ で最大値 $a^2 - 4a + 7$ をとると仮定します。

この場合、シ = a, ス = a^2 - 4a + 7 となります。

以上の考察から、カ = 2、キ = a、ク = a^2 - 4a + 7、サ = 3、シ = a、ス = a^2 - 4a + 7　と推測できます。

3. 最終的な答え

カ：②

キ：⑦

ク：⑧

サ：③

シ：⑦

ス：⑧