与えられた複素数の式 $\frac{2}{3i+1}$ を計算し、簡単化された形で表してください。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式 $\frac{2}{3i+1}$ を計算し、簡単化された形で表してください。

2. 解き方の手順

複素数の分母を実数化するために、分母の共役複素数を分子と分母に掛けます。

分母 $3i+1$ の共役複素数は $1-3i$ です。

したがって、以下のように計算します。

$\frac{2}{3i+1} = \frac{2(1-3i)}{(3i+1)(1-3i)}$

分母を展開すると：

$(3i+1)(1-3i) = 1 - 9i^2 = 1 - 9(-1) = 1 + 9 = 10$

分子を展開すると：

$2(1-3i) = 2 - 6i$

したがって、

$\frac{2}{3i+1} = \frac{2-6i}{10}$

分子と分母を2で割って、式を簡単化します。

$\frac{2-6i}{10} = \frac{1-3i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{3}{5}i$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5} - \frac{3}{5}i$