実数 $x$ について、命題「$-2 \le x \le 3 \Longrightarrow k-6 \le x \le k$」が真であるような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ について、命題「$-2 \le x \le 3 \Longrightarrow k-6 \le x \le k$」が真であるような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

この命題が真であるためには、$-2 \le x \le 3$ を満たすすべての $x$ が $k-6 \le x \le k$ を満たしている必要がある。 つまり、区間 $[k-6, k]$ が区間 $[-2, 3]$ を含む必要がある。

したがって、以下の2つの不等式が成立する必要がある。

$k-6 \le -2$

$3 \le k$

最初の不等式を解くと、

$k-6 \le -2$

$k \le -2 + 6$

$k \le 4$

したがって、

$3 \le k \le 4$

3. 最終的な答え

$3 \le k \le 4$