$(\sqrt{3} - 1)^8$ を計算し、$a + b\sqrt{c} i$ の形で表す。ここで、$a$, $b$, $c$ は整数である。

1. 問題の内容

$(\sqrt{3} - 1)^8$ を計算し、$a + b\sqrt{c} i$ の形で表す。ここで、$a$, $b$, $c$ は整数である。

2. 解き方の手順

まず、複素数 $z = \sqrt{3} - i$ を考える。この複素数の絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ を求める。

$r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ なので、$\theta = -\frac{\pi}{6}$ である。

したがって、$z = 2 (\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$ と表せる。

ド・モアブルの定理より、$z^8 = 2^8 (\cos(-\frac{8\pi}{6}) + i \sin(-\frac{8\pi}{6}))$ となる。

$-\frac{8\pi}{6} = -\frac{4\pi}{3} = -\pi - \frac{\pi}{3}$ であるから、

$\cos(-\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$,

$\sin(-\frac{4\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

となる。

したがって、

$z^8 = 2^8 (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) = 256 (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) = -128 - 128\sqrt{3} i$.

したがって、$(\sqrt{3} - i)^8 = -128 - 128\sqrt{3} i$

3. 最終的な答え

ア = -128

イ = -128

ウ = 3