$z^3 = -8i$ を満たす複素数 $z$ を求め、解答欄の形式に合うように記述する。

1. 問題の内容

$z^3 = -8i$ を満たす複素数 $z$ を求め、解答欄の形式に合うように記述する。

2. 解き方の手順

まず、$z^3 = -8i$ を極形式で表します。

$-8i$ の絶対値は $8$、偏角は $\frac{3\pi}{2}$ です。したがって、

$-8i = 8(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}))$ と表せます。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、ド・モアブルの定理より、

$z^3 = r^3(\cos(3\theta) + i\sin(3\theta))$

となります。これが $-8i$ に等しいので、

$r^3 = 8$ かつ $3\theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ （$n$ は整数）

を満たす必要があります。

$r^3 = 8$ より、$r = 2$ です。

$3\theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{2n\pi}{3}$ となります。

$n = 0, 1, 2$ を代入すると、

$n = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}$

$n = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi + 4\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$

$n = 2$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi + 8\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

したがって、$z$ は次の３つとなります。

$z_1 = 2(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) = 2(0 + i) = 2i$

$z_2 = 2(\cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6})) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = -\sqrt{3} - i$

$z_3 = 2(\cos(\frac{11\pi}{6}) + i\sin(\frac{11\pi}{6})) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = \sqrt{3} - i$

3. 最終的な答え

$z = 2i, -\sqrt{3} - i, \sqrt{3} - i$

ア: 2

イ: $-\sqrt{3}$

ウ: 3

エ: 1

オ: 3

カ: 1