複素数 $z$ に関する3次方程式 $z^3 = 8i$ の解を求める問題です。解は3つあり、それらを指定された形式で答える必要があります。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する3次方程式 $z^3 = 8i$ の解を求める問題です。解は3つあり、それらを指定された形式で答える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$8i$ を極形式で表します。

$8i = 8(\cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}))$

複素数 $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とすると、$z^3 = 8i$ はド・モアブルの定理より、

$r^3 (\cos(3\theta) + i \sin(3\theta)) = 8 (\cos(\frac{\pi}{2} + 2n\pi) + i \sin(\frac{\pi}{2} + 2n\pi))$, ($n$ は整数)

よって、$r^3 = 8$ より $r = 2$ となり、

$3\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ より $\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2n\pi}{3}$

$n = 0$ のとき $\theta = \frac{\pi}{6}$ なので、

$z_1 = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6})) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) = \sqrt{3} + i$

$n = 1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$ なので、

$z_2 = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) = -\sqrt{3} + i$

$n = 2$ のとき $\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ なので、

$z_3 = 2(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2})) = 2(0 - i) = -2i$

3. 最終的な答え

$z = -2i, \sqrt{3} + i, -\sqrt{3} + i$

ア = -2

イ = $\sqrt{3}$

ウ = 3

エ = 1

オ = $\sqrt{3}$

カ = 1