与えられた3点を通る円の方程式を求める問題です。問題は(1) (0, 0), (1, -2), (2, 1)の3点を通る円の方程式と、(2) (1, 1), (5, -1), (-3, -7)の3点を通る円の方程式の2つがあります。

1. 問題の内容

与えられた3点を通る円の方程式を求める問題です。問題は(1) (0, 0), (1, -2), (2, 1)の3点を通る円の方程式と、(2) (1, 1), (5, -1), (-3, -7)の3点を通る円の方程式の2つがあります。

2. 解き方の手順

円の方程式は一般的に $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$と表されます。与えられた3点の座標をこの式に代入して、a, b, cに関する連立一次方程式を立てて解きます。

(1) (0, 0), (1, -2), (2, 1)の場合

* (0, 0)を代入すると、$0^2 + 0^2 + a(0) + b(0) + c = 0$より、$c = 0$

* (1, -2)を代入すると、$1^2 + (-2)^2 + a(1) + b(-2) + 0 = 0$より、$a - 2b + 5 = 0$

* (2, 1)を代入すると、$2^2 + 1^2 + a(2) + b(1) + 0 = 0$より、$2a + b + 5 = 0$

上記の連立方程式を解きます。

$a - 2b = -5$

$2a + b = -5$

2つ目の式から $b = -5 - 2a$を得て、これを1つ目の式に代入します。

$a - 2(-5 - 2a) = -5$

$a + 10 + 4a = -5$

$5a = -15$

$a = -3$

$b = -5 - 2(-3) = -5 + 6 = 1$

よって、$a = -3, b = 1, c = 0$なので、円の方程式は $x^2 + y^2 - 3x + y = 0$となります。

(2) (1, 1), (5, -1), (-3, -7)の場合

* (1, 1)を代入すると、$1^2 + 1^2 + a(1) + b(1) + c = 0$より、$a + b + c + 2 = 0$

* (5, -1)を代入すると、$5^2 + (-1)^2 + a(5) + b(-1) + c = 0$より、$5a - b + c + 26 = 0$

* (-3, -7)を代入すると,$(-3)^2 + (-7)^2 + a(-3) + b(-7) + c = 0$より、$-3a - 7b + c + 58 = 0$

上記の連立方程式を解きます。

$a + b + c = -2$

$5a - b + c = -26$

$-3a - 7b + c = -58$

1つ目の式から $c = -2 - a - b$を得て、2つ目と3つ目の式に代入します。

$5a - b - 2 - a - b = -26$より、$4a - 2b = -24$つまり、$2a - b = -12$

$-3a - 7b - 2 - a - b = -58$より、$-4a - 8b = -56$つまり、$a + 2b = 14$

上記の連立方程式を解きます。

$2a - b = -12$

$a + 2b = 14$

2つ目の式から $a = 14 - 2b$を得て、1つ目の式に代入します。

$2(14 - 2b) - b = -12$

$28 - 4b - b = -12$

$-5b = -40$

$b = 8$

$a = 14 - 2(8) = 14 - 16 = -2$

$c = -2 - (-2) - 8 = -8$

よって、$a = -2, b = 8, c = -8$なので、円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x + 8y - 8 = 0$となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 - 3x + y = 0$

(2) $x^2 + y^2 - 2x + 8y - 8 = 0$