三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABを図のような比に内分するとき、$CO:OR$を求める問題です。ここで、AR:RB = 2:2 = 1:1、AQ:QC = 1:1であると図から読み取れます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABを図のような比に内分するとき、$CO:OR$を求める問題です。ここで、AR:RB = 2:2 = 1:1、AQ:QC = 1:1であると図から読み取れます。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理やメネラウスの定理を利用して解くことができます。ここでは、メネラウスの定理を用いる方法で解いてみましょう。

三角形ABQと直線RCにおいて、メネラウスの定理より

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

問題より$AR:RB = 1:1$, $AQ:QC = 1:1$であるから、$QC:AC = 1:2$となるので、これらを代入すると、

$\frac{1}{1} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BO}{OQ} = 2$

したがって、$BO:OQ = 2:1$となります。

次に、三角形BCRと直線AQにおいて、メネラウスの定理より

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

$BA:AR = 2:1$, $CQ:AQ= 1:1$ です。

$\frac{BQ}{CQ} = x$とおくと、$BC: CQ = x+1$

また$AR:RB =1:1$なので、 $AB: AR = 2$.

したがって、

$2 \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{1}{x} = 1$

$\frac{OC}{RO} = \frac{2}{x}$

よって、$CO:OR = \frac{2}{x}$

一方、

$\frac{AQ}{QC}\cdot \frac{CO}{OB}\cdot\frac{BR}{RA}=1$

に、$AQ:QC = 1:1$, $AR:RB = 1:1$を代入して、$\frac{1}{1}\cdot \frac{CO}{OB} \cdot\frac{1}{1}=1$より、$\frac{CO}{OB}=1$

つまり、$CO=OB$

同様に、

$\frac{OB}{OQ}=2$

$\frac{CO}{OQ}=2$

三角形ACRにおいて、メネラウスの定理を適用し、直線BOを考える。

$\frac{CB}{BR}\cdot\frac{RO}{OA}\cdot\frac{AQ}{QC}=1$

$\frac{AR}{RB}=1$より$\frac{RB}{AB}=\frac{1}{2}$, $CQ:AQ=1$, $CQ:AC=1:2$, $\frac{AQ}{AC}=1$

$\frac{BR}{CB}=2$,$\frac{RB}{CB}= \frac{BR}{CB-BR}$, $\frac{CB}{BR}=\frac{CB}{CB-CB} =\frac{2}{1}$

$\frac{CO}{OB}= \frac{CO}{OC}=1$

$\frac{AC}{CA} =1$, $\frac{CO}{OC}=1$

$\frac{CB}{BR}=X$, $BR=(X-1)/X$

最終的な式は

$\frac{CB}{BR}\cdot\frac{RO}{OA}\cdot\frac{AQ}{QC}=1$

$\frac{CO}{OR} = x$

正しくは、

$\frac{CO}{OR}=\frac{AQ}{QB}$

$\frac{CO}{OR}=\frac{AC}{AQ}+\frac{BC}{BQ} =1$

$AO:OB=2:1$

$1:2$

$2:1$

3. 最終的な答え

CO:OR = 1:2