三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺BC, ACを2:1と3:1に内分している。線分ARと線分BQの交点をOとするとき、BO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺BC, ACを2:1と3:1に内分している。線分ARと線分BQの交点をOとするとき、BO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

チェバの定理を使ってBO:ORを求める。チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} \cdot \frac{AP}{PB} = 1$

である。この問題の場合、AQ, QC, CR, RAの値は分かっているので、BO, ORを求めるために、まずはCQ:QBを求め、メネラウスの定理を用いる。

BCを２：１に内分するので、QC:BC＝1/3となる。

$\frac{BO}{OR} \cdot \frac{RA}{AC} \cdot \frac{CQ}{QB}=1$

RA:AR＝1/4、QC：BC=1/3を代入する。

$\frac{BO}{OR} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BO}{OR} \cdot \frac{1}{8} = 1$

よって、

$\frac{BO}{OR} = 8$

3. 最終的な答え

BO:OR = 8:1