平行四辺形ABCDにおいて、EはBCの中点、FはCDの中点であるとき、線分AGとGEの比 AG:GE を求める問題です。

## 問題文の解釈

問題は、与えられた図形の線分の比を求めるものです。四角形ABCDは、(1)から(5)までは平行四辺形であり、(6)はAD//BCの台形です。それぞれの場合について、指定された線分の比を求めます。

## (1) E, F は BC, CD の中点のとき、AG:GE

1. **問題の内容**

平行四辺形ABCDにおいて、EはBCの中点、FはCDの中点であるとき、線分AGとGEの比 AG:GE を求める問題です。

2. **解き方の手順**

* 線分AFを延長し、BCの延長線との交点をPとする。

* $\triangle ADF$と$\triangle PCF$において、

* $DF = FC$ (FはCDの中点)

* $\angle AFD = \angle PFC$ (対頂角)

* $\angle ADF = \angle PCF$ (平行線の錯角。AD//BCより)

よって、$\triangle ADF \equiv \triangle PCF$ (1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい)。

* したがって、$AD = PC$。

* ここで、$AD = BC$ (平行四辺形の対辺)なので、$PC = BC$。

* $BP = BC + CP = BC + BC = 2BC$

* $BE = \frac{1}{2}BC$ (EはBCの中点)

* よって、$BE:BP = \frac{1}{2}BC:2BC = 1:4$

* $\triangle AGE$と$\triangle APE$において、点B,E,Pが一直線上にあるのでメネラウスの定理より、

$\frac{AG}{GE} \cdot \frac{EB}{BP} \cdot \frac{PC}{CA} = 1$。

* $\frac{AG}{GE} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{BC}{2BC} = 1$

* $\frac{AG}{GE} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = 1$

* $\frac{AG}{GE} = 8$

3. **最終的な答え**

AG:GE = 8:1

## (2) FはCDの中点、BE:EC=1:2のとき、BG:GF

1. **問題の内容**

平行四辺形ABCDにおいて、FはCDの中点、BE:EC=1:2のとき、線分BGとGFの比 BG:GF を求める問題です。

2. **解き方の手順**

* 線分BEを延長し、ADの延長線との交点をQとする。

* $\triangle BEC$と$\triangle QEA$において、

* $BE:EC = 1:2$より、$BC = BE + EC = 3BE$

* $AD = BC = 3BE$　（平行四辺形の対辺）

* $\angle BEC = \angle QEA$ (対頂角)

* $\angle BCE = \angle QAE$ (平行線の錯角。AD//BCより)

よって、$\triangle BEC \sim \triangle QEA$ (2角がそれぞれ等しい)。

したがって、$BE:QE = CE:AE = 1:1$ よって$BE=QE$. よって$AQ:AD = 1:2$

* $\triangle BGQ$と$\triangle FGA$において、点C,D,Fが一直線上にあるのでメネラウスの定理より、

$\frac{BG}{GF} \cdot \frac{FC}{CD} \cdot \frac{DA}{AB} = 1$。

* $FC = \frac{1}{2}CD$ (FはCDの中点) なので、$\frac{FC}{CD} = \frac{1}{2}$。

* $AB = CD$ (平行四辺形の対辺)なので、$AQ/AB = 1/2 AB /AB = 1:2$.

3. **最終的な答え**

BG:GF = 1:1

## (3) AG:GH:HD=2:3:1, E, FはBC, CDの中点のとき、GI:IF

1. **問題の内容**

平行四辺形ABCDにおいて、AG:GH:HD = 2:3:1, E,FはBC,CDの中点のとき、線分GIとIFの比GI:IFを求める問題です。

2. **解き方の手順**

$\triangle AGH \sim \triangle IGC$ より、$\frac{GH}{GC} = \frac{AG}{IG}$。$BC:CD = 3:4$ より $\frac{GI}{IF} = 3:2$。

3. **最終的な答え**

GI:IF = 3:2

## (4) AE:ED=1:2, CG:GD=1:3 のとき、EF:FG

1. **問題の内容**

平行四辺形ABCDにおいて、AE:ED=1:2, CG:GD=1:3 のとき、線分EFとFGの比EF:FGを求める問題です。

2. **解き方の手順**

$\triangle AEF \sim \triangle CGF$ より、$\frac{EF}{FG} = \frac{AE}{CG}$。$AE:ED=1:2$より、$AE = \frac{1}{3}AD$, $CG:GD=1:3$より、$CG = \frac{1}{4}CD = \frac{1}{4}AD$。したがって、$\frac{EF}{FG} = \frac{AE}{CG} = \frac{\frac{1}{3}AD}{\frac{1}{4}AD} = \frac{4}{3}$

3. **最終的な答え**

EF:FG = 4:3

## (5) AE:EB=DF:FC=1:2 のとき、GH:HC

1. **問題の内容**

平行四辺形ABCDにおいて、AE:EB=DF:FC=1:2 のとき、線分GHとHCの比GH:HCを求める問題です。

2. **解き方の手順**

$\triangle AEH \sim \triangle CBG$ より、$\frac{AH}{CG} = \frac{AE}{BC}$。$AE = \frac{1}{3}AB$, $FC = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3}AB$.

3. **最終的な答え**

GH:HC = 1:5

## (6) AD:BC=3:5, CE:ED=2:3 のとき、AF:FE

1. **問題の内容**

台形ABCDにおいて、AD:BC=3:5, CE:ED=2:3 のとき、線分AFとFEの比AF:FEを求める問題です。

2. **解き方の手順**

$\triangle AFD \sim \triangle CFB$ より、$\frac{AF}{CF} = \frac{AD}{BC}$。$\frac{AF}{FE} = \frac{3}{5}$

3. **最終的な答え**

AF:FE = 3:5