直線 $AB: y = \frac{4}{3}x + 2$ があり、点 $B$ の $x$ 座標は $6$ である。点 $A$ は $y$ 軸との交点であり、$x$ 軸上に点 $P$ がある。 (1) $AB$ の長さを求める。 (2) $AP + PB$ の長さが最小となるときの値を求める。

1. 問題の内容

直線 $AB: y = \frac{4}{3}x + 2$ があり、点 $B$ の $x$ 座標は $6$ である。点 $A$ は $y$ 軸との交点であり、$x$ 軸上に点 $P$ がある。

(1) $AB$ の長さを求める。

(2) $AP + PB$ の長さが最小となるときの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $B$ の座標を求める。直線 $AB$ の式に $x = 6$ を代入すると、

$y = \frac{4}{3}(6) + 2 = 8 + 2 = 10$

したがって、点 $B$ の座標は $(6, 10)$ である。

点 $A$ は $y$ 軸との交点なので、$x = 0$ を直線 $AB$ の式に代入すると、

$y = \frac{4}{3}(0) + 2 = 2$

したがって、点 $A$ の座標は $(0, 2)$ である。

$AB$ の長さを求める。

$AB = \sqrt{(6-0)^2 + (10-2)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

(2) 点 $B$ の $x$ 軸に関する対称点を $B'$ とする。$B'$ の座標は $(6, -10)$ となる。$AP + PB$ の長さが最小となるのは、点 $A$, $P$, $B'$ が一直線上にあるときである。

このとき、$AP + PB = AP + PB' = AB'$ となる。

$AB' = \sqrt{(6-0)^2 + (-10-2)^2} = \sqrt{6^2 + (-12)^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $AB = 10$

(2) $AP + PB = 6\sqrt{5}$