三角形OABにおいて、OA=1, OB=2, $\cos{\angle AOB} = \frac{1}{4}$である。OAの中点をC、ABの中点をDとし、OBを1:2に内分する点をE、線分CEと線分ODの交点をFとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とする。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$の値を求め、$\vec{OD}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。 (2) $\vec{OF}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。 (3) $\cos{\angle AFD}$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=1, OB=2, $\cos{\angle AOB} = \frac{1}{4}$である。OAの中点をC、ABの中点をDとし、OBを1:2に内分する点をE、線分CEと線分ODの交点をFとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とする。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$の値を求め、$\vec{OD}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

(2) $\vec{OF}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

(3) $\cos{\angle AFD}$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$は、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\angle AOB}$

で求められる。

$|\vec{a}| = OA = 1$, $|\vec{b}| = OB = 2$, $\cos{\angle AOB} = \frac{1}{4}$を代入すると、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

$\vec{OD}$について。DはABの中点なので、

$\vec{OD} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(2)

点Fは線分OD上にあるので、実数$s$を用いて

$\vec{OF} = s\vec{OD} = s(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{s}{2}\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b}$

と表せる。

また、点Fは線分CE上にあるので、実数$t$を用いて

$\vec{OF} = (1-t)\vec{OC} + t\vec{OE}$

と表せる。

$\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$, $\vec{OE} = \frac{1}{3}\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{b}$なので、

$\vec{OF} = (1-t)\frac{1}{2}\vec{a} + t\frac{1}{3}\vec{b} = \frac{1-t}{2}\vec{a} + \frac{t}{3}\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$\frac{s}{2} = \frac{1-t}{2}$, $\frac{s}{2} = \frac{t}{3}$

これを解くと、$s = \frac{2}{5}$, $t = \frac{3}{5}$

よって、

$\vec{OF} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

(3)

$\vec{AF} = \vec{OF} - \vec{OA} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b} - \vec{a} = -\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

$\vec{DF} = \vec{OF} - \vec{OD} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{3}{10}\vec{a} - \frac{3}{10}\vec{b}$

$|\vec{AF}|^2 = (-\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b})^2 = \frac{16}{25}|\vec{a}|^2 - \frac{8}{25}\vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{1}{25}|\vec{b}|^2 = \frac{16}{25} - \frac{8}{25}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{25}\cdot4 = \frac{16}{25} - \frac{4}{25} + \frac{4}{25} = \frac{16}{25}$

$|\vec{AF}| = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$|\vec{DF}|^2 = (-\frac{3}{10}\vec{a} - \frac{3}{10}\vec{b})^2 = \frac{9}{100}|\vec{a}|^2 + \frac{18}{100}\vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{9}{100}|\vec{b}|^2 = \frac{9}{100} + \frac{18}{100}\cdot\frac{1}{2} + \frac{9}{100}\cdot4 = \frac{9}{100} + \frac{9}{100} + \frac{36}{100} = \frac{54}{100} = \frac{27}{50}$

$|\vec{DF}| = \sqrt{\frac{27}{50}} = \frac{3\sqrt{3}}{5\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{10}$

$\vec{AF} \cdot \vec{DF} = (-\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) \cdot (-\frac{3}{10}\vec{a} - \frac{3}{10}\vec{b}) = \frac{12}{50}|\vec{a}|^2 + \frac{12}{50}\vec{a}\cdot\vec{b} - \frac{3}{50}\vec{a}\cdot\vec{b} - \frac{3}{50}|\vec{b}|^2 = \frac{12}{50} + \frac{9}{50}\cdot\frac{1}{2} - \frac{3}{50}\cdot4 = \frac{12}{50} + \frac{9}{100} - \frac{12}{50} = \frac{9}{100}$

$\cos{\angle AFD} = \frac{\vec{AF} \cdot \vec{DF}}{|\vec{AF}||\vec{DF}|} = \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4}{5}\cdot\frac{3\sqrt{6}}{10}} = \frac{\frac{9}{100}}{\frac{12\sqrt{6}}{50}} = \frac{9}{100} \cdot \frac{50}{12\sqrt{6}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{12\sqrt{6}} = \frac{3}{8\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{48} = \frac{\sqrt{6}}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$, $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(2) $\vec{OF} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

(3) $\cos{\angle AFD} = \frac{\sqrt{6}}{16}$