$xy$平面上の格子点と、自然数$n$に対して定義された領域$R$内の格子点を頂点とする正方形の個数$q_n$に関する問題です。具体的には、以下の4つの問いに答えます。 (1) $xy$平面上の2点$A(a, 0), B(0, b) (a>0, b>0)$を結ぶ線分を1辺とする正方形$ABCD$を考え、点$C, D$が第1象限に含まれるとき、$C, D$の座標を求めます。 (2) $k$は自然数とし、4点$(0,0), (k, 0), (k, k), (0, k)$を頂点とする正方形を$E$とします。$E$の辺上の格子点($E$の頂点を含む)を4つの頂点とする正方形の個数を求めます。 (3) $q_1, q_2, q_3$を求めます。 (4) $q_n$を求めます。

1. 問題の内容

$xy$平面上の格子点と、自然数$n$に対して定義された領域$R$内の格子点を頂点とする正方形の個数$q_n$に関する問題です。具体的には、以下の4つの問いに答えます。

(1) $xy$平面上の2点$A(a, 0), B(0, b) (a>0, b>0)$を結ぶ線分を1辺とする正方形$ABCD$を考え、点$C, D$が第1象限に含まれるとき、$C, D$の座標を求めます。

(2) $k$は自然数とし、4点$(0,0), (k, 0), (k, k), (0, k)$を頂点とする正方形を$E$とします。$E$の辺上の格子点($E$の頂点を含む)を4つの頂点とする正方形の個数を求めます。

(3) $q_1, q_2, q_3$を求めます。

(4) $q_n$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bを結ぶ線分を1辺とする正方形ABCDにおいて、C, Dが第1象限にあるときの座標を求める。

線分ABを反時計回りに90度回転させるとAD, 時計回りに90度回転させるとBCとなることを利用する。

A(a, 0), B(0, b)より、ベクトル$\vec{AB} = (-a, b)$

$\vec{AD}$は$\vec{AB}$を90度回転させたベクトルなので、$\vec{AD} = (-b, -a)$

$\vec{BC}$は$\vec{AB}$を-90度回転させたベクトルなので、$\vec{BC} = (b, a)$

よって、

$D = A + \vec{AD} = (a-b, -a)$

$C = B + \vec{BC} = (b, b+a)$

C, Dが第1象限にあるとき、$a-b>0, -a>0$となる必要があるが、$-a>0$は$a>0$に矛盾するため、題意を満たすようなC, Dは存在しない。

ただし、$C$と$D$を入れ替えると、$D = A + \vec{AC} = (a+b, a)$、$C = B + \vec{BD} = (b, b-a)$

C, Dが第1象限にあるとき、$b>0, b-a>0$となる必要がある。

このとき、$C(b, b-a), D(a+b, a)$

(2) 正方形Eの辺上の格子点を頂点とする正方形の個数を求める。

正方形Eの頂点は、(0,0), (k,0), (k,k), (0,k)

辺上の格子点(Eの頂点を含む)を4つの頂点とする正方形は、元の正方形Eのみである。したがって、正方形の個数は1つ。

(3) $q_1, q_2, q_3$を求める。

$q_n$は$R$内の4つの格子点を頂点とする正方形の個数。

$q_1$: $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$の領域。1x1の正方形が1つ。したがって$q_1=1$。

$q_2$: $0 \le x \le 2$, $0 \le y \le 2$の領域。1x1の正方形が4つ、2x2の正方形が1つ。したがって$q_2 = 4+1 = 5$。

$q_3$: $0 \le x \le 3$, $0 \le y \le 3$の領域。1x1の正方形が9つ、2x2の正方形が4つ、3x3の正方形が1つ。したがって$q_3 = 9+4+1 = 14$。

(4) $q_n$を求める。

$q_n$は、$R$内の4つの格子点を頂点とする正方形の個数。

1x1の正方形は$n^2$個。

2x2の正方形は$(n-1)^2$個。

...

nxnの正方形は1個。

したがって、$q_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $C(b, b-a), D(a+b, a)$

(2) 1個

(3) $q_1 = 1, q_2 = 5, q_3 = 14$

(4) $q_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$