三角形ABCと点Pに対して、$2\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} + 4\overrightarrow{PC} = \vec{0}$ が成り立っている。 (1) $\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$を用いて表す。 (2) $\overrightarrow{AP}$の延長とBCとの交点をDとするとき、BD:DC, AP:PDを求める。 (3) 面積比$\triangle PBC: \triangle PCA: \triangle PAB$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCと点Pに対して、$2\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} + 4\overrightarrow{PC} = \vec{0}$ が成り立っている。

(1) $\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$を用いて表す。

(2) $\overrightarrow{AP}$の延長とBCとの交点をDとするとき、BD:DC, AP:PDを求める。

(3) 面積比$\triangle PBC: \triangle PCA: \triangle PAB$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$2\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} + 4\overrightarrow{PC} = \vec{0}$ より、

$-2\overrightarrow{AP} + 3(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}) + 4(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP}) = \vec{0}$

$-2\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AP} = \vec{0}$

$3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} = 9\overrightarrow{AP}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}}{9}$

したがって、選択肢の3が答え。

(2)

$\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{AP}$とおくと、$k$は実数。

$\overrightarrow{AD} = k \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}}{9} = \frac{3k}{9}\overrightarrow{AB} + \frac{4k}{9}\overrightarrow{AC}$

ここで、点Dは直線BC上にあるので、

$\frac{3k}{9} + \frac{4k}{9} = 1$

$\frac{7k}{9} = 1$

$k = \frac{9}{7}$

よって、$\overrightarrow{AD} = \frac{3}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$

DはBCを4:3に内分するので、BD:DC = 4:3

$\overrightarrow{AP} = \frac{7}{9}\overrightarrow{AD}$

したがって、AP:PD = 7:2

選択肢の1が答え。

(3)

$\triangle ABC$において、BD:DC = 4:3なので、$\triangle ABD : \triangle ADC = 4:3$

また、AP:PD = 7:2なので、$\triangle ABP : \triangle DBP = 7:2$ かつ $\triangle ACP : \triangle DCP = 7:2$

したがって、

$\triangle PBC = \frac{3}{7}\triangle ABC$

$\triangle PCA = \frac{4}{9}\triangle ABC$

$\triangle PAB = \frac{2}{9}\triangle ABC$

よって、

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = \frac{3}{7} : \frac{4}{9} : \frac{2}{9} = \frac{27}{63} : \frac{28}{63} : \frac{14}{63} = 27 : 28 : 14$

また、$\triangle ABC = \triangle PAB + \triangle PCA + \triangle PBC$なので、

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = (面積比が簡単な整数比となるように考えます)$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}}{9}$より、

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 4:3:2$ではない。

別解

$2\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} + 4\overrightarrow{PC} = \vec{0}$

この式は、

$2S_{\triangle PBC} = 3S_{\triangle PCA} = 4S_{\triangle PAB} = k$ となる。

$\triangle PBC = \frac{k}{2}$, $\triangle PCA = \frac{k}{3}$, $\triangle PAB = \frac{k}{4}$

よって、$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = 6 : 4 : 3$

選択肢に存在しない

修正

$2\triangle PBC = 3\triangle PCA = 4\triangle PAB = k$とおく

すると、

$\triangle PBC = k/2, \triangle PCA = k/3, \triangle PAB = k/4$

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 6:4:3$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 1

(3) 6:4:3ではないので、選択肢になし。

$2\triangle PBC + 3\triangle PCA + 4\triangle PAB= 0$だからおかしい。

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 4:3:2$