放物線 $y = ax^2$ ($a < 0$) (1) と $y = bx^2$ ($b > 0$) (2) がある。点Aは放物線(1)上にあり、座標は(-2, -1)。線分ABはx軸に平行で、点Bも放物線(1)上にある。点C, Dは放物線(2)上にあり、線分BCはy軸に平行でAB=BCである。点Dのy座標は6であり、x座標は正である。このとき、$a$, $b$ の値と点Dのx座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2$ ($a < 0$) (1) と $y = bx^2$ ($b > 0$) (2) がある。点Aは放物線(1)上にあり、座標は(-2, -1)。線分ABはx軸に平行で、点Bも放物線(1)上にある。点C, Dは放物線(2)上にあり、線分BCはy軸に平行でAB=BCである。点Dのy座標は6であり、x座標は正である。このとき、$a$, $b$ の値と点Dのx座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) aの値を求める

点A(-2, -1)は放物線$y = ax^2$上にあるので、

$-1 = a(-2)^2$

$-1 = 4a$

$a = -1/4$

(2) bの値を求める

ABはx軸に平行なので、点Aと点Bのy座標は等しい。

点Aのx座標は-2なので、点Bのx座標を$x_B$とすると、$-1 = (-1/4)x_B^2$。

$x_B^2 = 4$

$x_B = ±2$。点Bは点Aと異なるので、$x_B = 2$。

したがって、点Bの座標は(2, -1)。

BCはy軸に平行なので、点Bと点Cのx座標は等しい。

よって点Cのx座標は2。AB = BCより、BCの長さは$2 - (-2) = 4$。

点Cのy座標は$-1 + 4 = 3$。したがって、点Cの座標は(2, 3)。

点C(2, 3)は放物線$y = bx^2$上にあるので、

$3 = b(2)^2$

$3 = 4b$

$b = 3/4$

(3) 点Dのx座標を求める

点Dは放物線$y = bx^2$ ($b = 3/4$)上にあり、y座標は6なので、$6 = (3/4)x_D^2$。

$x_D^2 = 8$

$x_D = ±2\sqrt{2}$。点Dのx座標は正なので、$x_D = 2\sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{1}{4}$

(2) $b = \frac{3}{4}$

(3) 点Dのx座標は $2\sqrt{2}$