一辺が10cmの正方形ABCDがあり、辺AD上にOA=4cmとなる点Oがある。点PがAを出発して、毎秒1cmの速さで正方形の辺上をA→B→C→Dの順に移動する。x秒後の三角形OAPの面積をy cm²とするとき、以下の問いに答える。 (1) 点Pが辺AB上にあるとき、yをxの式で表し、その変域を求める。 (2) 点Pが辺BC上にあるとき、yをxの式で表し、その変域を求める。 (3) 点Pが辺CD上にあるとき、yをxの式で表し、その変域を求める。

1. 問題の内容

一辺が10cmの正方形ABCDがあり、辺AD上にOA=4cmとなる点Oがある。点PがAを出発して、毎秒1cmの速さで正方形の辺上をA→B→C→Dの順に移動する。x秒後の三角形OAPの面積をy cm²とするとき、以下の問いに答える。

(1) 点Pが辺AB上にあるとき、yをxの式で表し、その変域を求める。

(2) 点Pが辺BC上にあるとき、yをxの式で表し、その変域を求める。

(3) 点Pが辺CD上にあるとき、yをxの式で表し、その変域を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが辺AB上にあるとき

AP = x cmとなる。三角形OAPの面積yは、底辺AP、高さOAの三角形の面積なので、

$y = \frac{1}{2} \times AP \times OA$

$y = \frac{1}{2} \times x \times 4$

$y = 2x$

変域は、点PがAにあるときx=0、点PがBにあるときx=10なので、0 ≦ x ≦ 10となる。

(2) 点Pが辺BC上にあるとき

点PがAを出発してからx秒後なので、APの道のりはx cmである。このとき、三角形OAPの面積yは、底辺OA、高さABの三角形から底辺BP、高さABの三角形の面積を引いて求められる。BCの長さは10cmなので、BP = x - 10となる。点Oから辺ABに垂線を下ろしても高さは変わらないことに注意する。

$y = \frac{1}{2} \times OA \times AB$

$y = \frac{1}{2} \times 4 \times 10$

$y = 20$

従って、面積は一定であり、式は $y=20$となる。

変域は、点PがBにあるときx=10、点PがCにあるときx=20なので、10 ≦ x ≦ 20となる。

(3) 点Pが辺CD上にあるとき

点PがAを出発してからx秒後なので、APの道のりはx cmである。このとき、三角形OAPの面積yは、底辺OA、高さADの三角形から底辺DP、高さADの三角形の面積を引いて求められる。CDの長さは10cmなので、DP = 30 - xとなる。

$y = \frac{1}{2} \times OA \times AD - \frac{1}{2} \times DP \times AD$

$y = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 - \frac{1}{2} \times (30 - x) \times 10$

$y = 20 - 5(30 - x)$

$y = 20 - 150 + 5x$

$y = 5x - 130$

変域は、点PがCにあるときx=20、点PがDにあるときx=30なので、20 ≦ x ≦ 30となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x$, 0 ≦ x ≦ 10

(2) $y = 20$, 10 ≦ x ≦ 20

(3) $y = 5x - 130$, 20 ≦ x ≦ 30