直線 $3x + 2y = 6$ 上の点Pで、原点Oと点A, Bを結んでできる三角形AOBに対して、三角形AOPの面積が三角形AOBの面積の$\frac{1}{4}$になるときの点Pの座標を求めよ。ここで、Aは直線とx軸の交点、Bは直線とy軸の交点である。

1. 問題の内容

直線 $3x + 2y = 6$ 上の点Pで、原点Oと点A, Bを結んでできる三角形AOBに対して、三角形AOPの面積が三角形AOBの面積の$\frac{1}{4}$になるときの点Pの座標を求めよ。ここで、Aは直線とx軸の交点、Bは直線とy軸の交点である。

2. 解き方の手順

まず、直線 $3x + 2y = 6$ とx軸、y軸の交点A, Bの座標を求める。

x軸との交点Aは、$y = 0$ を代入して $3x = 6$ より $x = 2$。したがって、A(2, 0)。

y軸との交点Bは、$x = 0$ を代入して $2y = 6$ より $y = 3$。したがって、B(0, 3)。

次に、三角形AOBの面積を求める。

三角形AOBは底辺OAが2、高さOBが3の直角三角形なので、面積は

$\frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$

三角形AOPの面積は三角形AOBの面積の$\frac{1}{4}$なので、三角形AOPの面積は

$3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

点Pの座標を$(x, y)$とすると、三角形AOPの底辺OAは2なので、高さは$\frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2}$になる。点Pのy座標が$\frac{3}{2}$ということである。

点Pは直線 $3x + 2y = 6$ 上の点なので、y座標を代入してx座標を求める。

$3x + 2 \times \frac{3}{2} = 6$

$3x + 3 = 6$

$3x = 3$

$x = 1$

したがって、点Pの座標は(1, $\frac{3}{2}$)である。

3. 最終的な答え

(1, $\frac{3}{2}$)