直線 $l$ は点 A(4, 0) で x 軸と交わり、点 B(0, 8) で y 軸と交わっています。点 P は線分 AB 上の点です。 (1) 直線 $l$ の式を求めます。 (2) $\triangle OPB$ と $\triangle OAP$ の面積の比が 3:2 のとき、点 P の座標を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l$ は点 A(4, 0) で x 軸と交わり、点 B(0, 8) で y 軸と交わっています。点 P は線分 AB 上の点です。

(1) 直線 $l$ の式を求めます。

(2) $\triangle OPB$ と $\triangle OAP$ の面積の比が 3:2 のとき、点 P の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の式を求める

直線 $l$ は点 A(4, 0) と点 B(0, 8) を通るので、直線の式を $y = ax + b$ とすると、

$0 = 4a + 8$

$8 = 0a + b$

これを解くと、$a = -2$、$b = 8$ となります。したがって、直線 $l$ の式は

$y = -2x + 8$

です。

(2) 点 P の座標を求める

点 P は線分 AB 上の点なので、点 P の座標を $(x, y)$ とすると、$y = -2x + 8$ が成り立ちます。

$\triangle OPB$ の面積を $S_{OPB}$、$\triangle OAP$ の面積を $S_{OAP}$ とすると、$S_{OPB} : S_{OAP} = 3 : 2$ です。

$\triangle OPB$ の底辺を OB とすると、高さは点 P の x 座標の絶対値 $|x|$ です。OB = 8 なので、

$S_{OPB} = \frac{1}{2} \times 8 \times |x| = 4|x|$

$\triangle OAP$ の底辺を OA とすると、高さは点 P の y 座標の絶対値 $|y|$ です。OA = 4 なので、

$S_{OAP} = \frac{1}{2} \times 4 \times |y| = 2|y|$

したがって、$\frac{S_{OPB}}{S_{OAP}} = \frac{4|x|}{2|y|} = \frac{2|x|}{|y|} = \frac{3}{2}$ となります。

$4|x| = 3|y|$

$y = -2x + 8$ より、$4|x| = 3|-2x + 8|$。ここで、点Pは線分AB上にあるので、$0 \le x \le 4$、$0 \le y \le 8$である。よって、$|x| = x$、$|-2x+8| = -2x+8$となる。

$4x = 3(-2x + 8)$

$4x = -6x + 24$

$10x = 24$

$x = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$

$y = -2x + 8 = -2 \times \frac{12}{5} + 8 = -\frac{24}{5} + \frac{40}{5} = \frac{16}{5}$

したがって、点 P の座標は $(\frac{12}{5}, \frac{16}{5})$ です。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $l$ の式: $y = -2x + 8$

(2) 点 P の座標: $(\frac{12}{5}, \frac{16}{5})$