問題は、ベクトルに関する計算、直線の方程式、球の方程式を求めるものです。具体的には、以下の4つの問いがあります。 (1) $\vec{a} = (1, 2)$, $\vec{b} = (-1, 3)$のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$と$|\vec{a}|$を求めよ。 (2) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\vec{a} - \vec{b}$と$6\vec{a} + \vec{b}$が垂直のとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。 (3) 点(3, 6)を通り、$\vec{u} = (-1, 2)$を方向ベクトルとする直線の媒介変数表示を求めよ。 (4) 中心が(-1, 3, 2)で、$yz$平面に接する球面の方程式を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は、ベクトルに関する計算、直線の方程式、球の方程式を求めるものです。具体的には、以下の4つの問いがあります。

(1) $\vec{a} = (1, 2)$, $\vec{b} = (-1, 3)$のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$と$|\vec{a}|$を求めよ。

(2) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\vec{a} - \vec{b}$と$6\vec{a} + \vec{b}$が垂直のとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。

(3) 点(3, 6)を通り、$\vec{u} = (-1, 2)$を方向ベクトルとする直線の媒介変数表示を求めよ。

(4) 中心が(-1, 3, 2)で、$yz$平面に接する球面の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-1) + (2)(3) = -1 + 6 = 5$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

(2)

$\vec{a} - \vec{b}$と$6\vec{a} + \vec{b}$が垂直なので、内積は0。

$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (6\vec{a} + \vec{b}) = 0$

$6|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - 6\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2 = 0$

$6|\vec{a}|^2 - 5\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2 = 0$

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$を代入すると、

$6(2^2) - 5\vec{a} \cdot \vec{b} - 3^2 = 0$

$24 - 5\vec{a} \cdot \vec{b} - 9 = 0$

$15 - 5\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

$3 = 2 \cdot 3 \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$ (ラジアン)

$\theta = 60^{\circ}$

(3)

点(3, 6)を通り、$\vec{u} = (-1, 2)$を方向ベクトルとする直線の媒介変数表示は、

$x = 3 - t$

$y = 6 + 2t$

(4)

中心が(-1, 3, 2)で、$yz$平面に接する球の半径は、中心の$x$座標の絶対値に等しい。

半径 $r = |-1| = 1$

球面の方程式は、

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 1^2$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$, $|\vec{a}| = \sqrt{5}$

(2) $\theta = 60^{\circ}$

(3) $x = 3 - t$, $y = 6 + 2t$

(4) $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 1$

画像中の解答欄の番号に対応させると、以下のようになります。

1: 5

2: √5

3: 60

4:

5: 3

6: 6

7: 2

8: 1

9: 3

10: 2

11: 1