1辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとする。内積 $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ と $\vec{AB} \cdot \vec{AM}$ をそれぞれ求め、その値を分数で表すとき、分母と分子に当てはまる数字を答える。

1. 問題の内容

1辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとする。内積 $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ と $\vec{AB} \cdot \vec{AM}$ をそれぞれ求め、その値を分数で表すとき、分母と分子に当てはまる数字を答える。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ を求める。正四面体なので、$\angle BAC = 60^\circ$ であり、|$\vec{AB}$| = |$\vec{AC}$| = 1。したがって、

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos{60^\circ} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

次に、$\vec{AB} \cdot \vec{AM}$ を求める。

$\vec{AM} = \frac{1}{2} (\vec{AC} + \vec{AD})$と表せる。したがって、

$\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot \frac{1}{2} (\vec{AC} + \vec{AD}) = \frac{1}{2} (\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AB} \cdot \vec{AD})$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ と $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$ はいずれも $\frac{1}{2}$ なので、

$\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

問題文には、 $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{(ア)}{(イ)}$, $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \frac{(ウ)}{(エ)}$ となっているので、

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}$ より、ア=1, イ=

2. $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \frac{1}{2}$ より、ウ=1, エ=

2.

3. 最終的な答え

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}$

$\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \frac{1}{2}$