三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ であるとき、角Aの大きさと、辺ACを直径とする円の面積が三角形ABCの面積の何倍であるかを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ であるとき、角Aの大きさと、辺ACを直径とする円の面積が三角形ABCの面積の何倍であるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理より、$\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c$ であるから、$a:b:c = 7:5:3$ となります。

$a = 7k, b = 5k, c = 3k$ (k > 0) とおけます。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(5k)^2 + (3k)^2 - (7k)^2}{2 \cdot 5k \cdot 3k} = \frac{25k^2 + 9k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}$

したがって、$A = 120^\circ$ です。

次に、三角形ABCの面積Sを求めます。

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 5k \cdot 3k \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 15k^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}k^2$

辺ACを直径とする円の半径rは、 $r = \frac{b}{2} = \frac{5k}{2}$ です。

よって、この円の面積 $S'$ は、

$S' = \pi r^2 = \pi (\frac{5k}{2})^2 = \frac{25\pi}{4} k^2$

したがって、$S' = \frac{25\pi}{4} k^2 = \frac{25\pi}{4} \cdot \frac{4}{15\sqrt{3}} S = \frac{5\pi}{3\sqrt{3}}S = \frac{5\sqrt{3}\pi}{9}S$

3. 最終的な答え

A = 120°

$\frac{5\sqrt{3}\pi}{9}$ 倍