放物線 $y = ax^2$ (①) と $y = \frac{1}{4}x^2$ (②) があり、点A(4, 8)は放物線①上にある。 (1) $a$ の値を求める。 (2) 点B, C, Dの座標を求める。点Bは、点Aを通りx軸に平行な直線と放物線①とのA以外の交点。点Cは、点Aを通りy軸に平行な直線と放物線②との交点。点Dは、線分ABをBの方向に延長した直線と放物線②との交点。 (3) 線分AC, ADの長さを求める。

はい、承知いたしました。問題の解き方を説明します。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2$ (①) と $y = \frac{1}{4}x^2$ (②) があり、点A(4, 8)は放物線①上にある。

(1) $a$ の値を求める。

(2) 点B, C, Dの座標を求める。点Bは、点Aを通りx軸に平行な直線と放物線①とのA以外の交点。点Cは、点Aを通りy軸に平行な直線と放物線②との交点。点Dは、線分ABをBの方向に延長した直線と放物線②との交点。

(3) 線分AC, ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を求める。

点A(4, 8)が放物線① $y = ax^2$ 上にあるので、この座標を代入すると、

$8 = a \cdot 4^2$

$8 = 16a$

$a = \frac{8}{16}$

$a = \frac{1}{2}$

(2) 点B, C, Dの座標を求める。

点Bの座標：

点Aを通りx軸に平行な直線は、$y = 8$。この直線と放物線① $y = \frac{1}{2}x^2$ の交点を求める。

$8 = \frac{1}{2}x^2$

$x^2 = 16$

$x = \pm 4$

点Aのx座標は4なので、点Bのx座標は-4。したがって、点Bの座標は (-4, 8)。

点Cの座標：

点Aを通りy軸に平行な直線は、$x = 4$。この直線と放物線② $y = \frac{1}{4}x^2$ の交点を求める。

$y = \frac{1}{4} \cdot 4^2$

$y = \frac{1}{4} \cdot 16$

$y = 4$

したがって、点Cの座標は (4, 4)。

点Dの座標：

点Dは線分ABをBの方向に延長した直線と放物線②との交点である。線分ABを延長した直線は、x軸に平行な直線なので、$y=8$ である。

$y = \frac{1}{4}x^2$ に $y=8$ を代入して、$8 = \frac{1}{4}x^2$

$x^2 = 32$

$x = \pm \sqrt{32}$

$x = \pm 4\sqrt{2}$

点Bのx座標は-4なので、点Dのx座標は $-4\sqrt{2}$。したがって、点Dの座標は $(-4\sqrt{2}, 8)$。

(3) 線分AC, ADの長さを求める。

線分ACの長さ：

点A(4, 8)と点C(4, 4)の距離を求める。x座標が等しいので、y座標の差の絶対値がACの長さ。

$AC = |8 - 4| = 4$

線分ADの長さ：

点A(4, 8)と点D($-4\sqrt{2}$, 8)の距離を求める。y座標が等しいので、x座標の差の絶対値がADの長さ。

$AD = |4 - (-4\sqrt{2})| = |4 + 4\sqrt{2}| = 4 + 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) B(-4, 8), C(4, 4), D($-4\sqrt{2}$, 8)

(3) AC = 4, AD = $4 + 4\sqrt{2}$