三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^{\circ}$, $AB = 8$, $AC = 6$である。このとき、三角形ABCの垂心Hを$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^{\circ}$, $AB = 8$, $AC = 6$である。このとき、三角形ABCの垂心Hを$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

垂心Hは、三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線の交点である。

$\overrightarrow{AH} = s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}$と表す。ここで、$s$と$t$を求める。

まず、$\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{AC}$であることから、$\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$が成り立つ。

$\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB}$なので、

$(\overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB}) \cdot \overrightarrow{AC} = 0$

$(s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \cdot \overrightarrow{AC} = 0$

$s \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + t |\overrightarrow{AC}|^2 - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$

$s |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos 60^{\circ} + t |\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos 60^{\circ} = 0$

$s \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} + t \cdot 6^2 - 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 0$

$24s + 36t - 24 = 0$

$2s + 3t - 2 = 0$

次に、$\overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{AB}$であることから、$\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$が成り立つ。

$\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC}$なので、

$(\overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AB} = 0$

$(s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AB} = 0$

$s |\overrightarrow{AB}|^2 + t \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$

$s |\overrightarrow{AB}|^2 + t |\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{AB}| \cos 60^{\circ} - |\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{AB}| \cos 60^{\circ} = 0$

$s \cdot 8^2 + t \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} - 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 0$

$64s + 24t - 24 = 0$

$8s + 3t - 3 = 0$

$2s + 3t - 2 = 0$と$8s + 3t - 3 = 0$の連立方程式を解く。

上の式から下の式を引くと、

$-6s + 1 = 0$

$s = \frac{1}{6}$

$2 \cdot \frac{1}{6} + 3t - 2 = 0$

$\frac{1}{3} + 3t - 2 = 0$

$3t = \frac{5}{3}$

$t = \frac{5}{9}$

よって、$\overrightarrow{AH} = \frac{1}{6} \overrightarrow{AB} + \frac{5}{9} \overrightarrow{AC}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AH} = \frac{1}{6} \overrightarrow{AB} + \frac{5}{9} \overrightarrow{AC}$