一辺が12cmの正方形ABCDがある。 (1) 正方形EFGDの面積が16cm²のとき、台形BCGFの面積を求める。 (2) 台形BCGFの面積が47.5cm²のとき、EDの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺が12cmの正方形ABCDがある。

(1) 正方形EFGDの面積が16cm²のとき、台形BCGFの面積を求める。

(2) 台形BCGFの面積が47.5cm²のとき、EDの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

正方形EFGDの面積が16cm²なので、正方形EFGDの一辺の長さは$\sqrt{16} = 4$cmである。したがって、DG = 4cm。

正方形ABCDの一辺は12cmなので、CG = CD - DG = 12cm - 4cm = 8cm。

台形BCGFの面積は、(上底 + 下底) × 高さ ÷ 2 で求められる。

台形BCGFの上底はGF = 4cm、下底はBC = 12cm、高さはCG = 8cmなので、面積は$(4 + 12) \times 8 \div 2 = 16 \times 8 \div 2 = 128 \div 2 = 64$cm²。

(2)

ED = x cmとする。すると、DG = 12 - x cm。

正方形EFGDの面積は$(12 - x)^2$cm²。

台形BCGFの面積は47.5cm²。

台形BCGFの上底はGF = DG = 12-x、下底はBC=12、高さはCG=12-DG=12-(12-x)=xである。したがって、台形BCGFの面積は$\frac{(12-x+12)x}{2} = \frac{(24-x)x}{2} = 47.5$となる。

$(24 - x)x = 95$

$24x - x^2 = 95$

$x^2 - 24x + 95 = 0$

$(x - 5)(x - 19) = 0$

$x = 5$または$x = 19$

ただし、$x$は12以下なので、$x = 5$。

したがって、ED = 5cm。

3. 最終的な答え

(1) 台形BCGFの面積は64cm²

(2) EDの長さは5cm