数直線上の2点AとBが与えられたとき、以下の点の座標を求める問題です。 (1) 線分ABを2:1に内分する点 (2) 線分ABを1:3に内分する点 (3) 線分ABを4:3に内分する点 (4) 線分ABを2:1に外分する点 (5) 線分ABを3:5に外分する点 (6) 線分ABを3:1に外分する点 (7) 線分ABの中点

1. 問題の内容

数直線上の2点AとBが与えられたとき、以下の点の座標を求める問題です。

(1) 線分ABを2:1に内分する点

(2) 線分ABを1:3に内分する点

(3) 線分ABを4:3に内分する点

(4) 線分ABを2:1に外分する点

(5) 線分ABを3:5に外分する点

(6) 線分ABを3:1に外分する点

(7) 線分ABの中点

2. 解き方の手順

数直線上の2点A($a$)、B($b$)に対して、線分ABを$m:n$に内分する点の座標は、次の公式で求められます。

$$\frac{na + mb}{m+n}$$

また、線分ABを$m:n$に外分する点の座標は、次の公式で求められます。

$$\frac{-na + mb}{m-n}$$

線分ABの中点の座標は、次の公式で求められます。

$$\frac{a+b}{2}$$

(1) A(2), B(8) を 2:1 に内分する点:

$a = 2$, $b = 8$, $m = 2$, $n = 1$ を内分点の公式に代入します。

$$\frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 8}{2+1} = \frac{2 + 16}{3} = \frac{18}{3} = 6$$

(2) A(-1), B(-6) を 1:3 に内分する点:

$a = -1$, $b = -6$, $m = 1$, $n = 3$ を内分点の公式に代入します。

$$\frac{3 \cdot (-1) + 1 \cdot (-6)}{1+3} = \frac{-3 - 6}{4} = \frac{-9}{4} = -\frac{9}{4}$$

(3) A(9), B(-5) を 4:3 に内分する点:

$a = 9$, $b = -5$, $m = 4$, $n = 3$ を内分点の公式に代入します。

$$\frac{3 \cdot 9 + 4 \cdot (-5)}{4+3} = \frac{27 - 20}{7} = \frac{7}{7} = 1$$

(4) A(1), B(6) を 2:1 に外分する点:

$a = 1$, $b = 6$, $m = 2$, $n = 1$ を外分点の公式に代入します。

$$\frac{-1 \cdot 1 + 2 \cdot 6}{2-1} = \frac{-1 + 12}{1} = 11$$

(5) A(-2), B(5) を 3:5 に外分する点:

$a = -2$, $b = 5$, $m = 3$, $n = 5$ を外分点の公式に代入します。

$$\frac{-5 \cdot (-2) + 3 \cdot 5}{3-5} = \frac{10 + 15}{-2} = \frac{25}{-2} = -\frac{25}{2}$$

(6) A(-3), B(7) を 3:1 に外分する点:

$a = -3$, $b = 7$, $m = 3$, $n = 1$ を外分点の公式に代入します。

$$\frac{-1 \cdot (-3) + 3 \cdot 7}{3-1} = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

(7) A(1), B(5) の中点:

$a = 1$, $b = 5$ を中点の公式に代入します。

$$\frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) -9/4

(3) 1

(4) 11

(5) -25/2

(6) 12

(7) 3