三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺BC, ACを図のように内分するとき、AO:OQを求めよ。ただし、図からBQ:QC = 3:1, AR:RC = 1:3であることが読み取れる。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺BC, ACを図のように内分するとき、AO:OQを求めよ。ただし、図からBQ:QC = 3:1, AR:RC = 1:3であることが読み取れる。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いる。三角形BCRと直線AQについて、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

が成り立つ。

問題文と図から、$AR:RC = 1:3$ なので $AR:AC = 1:4$。よって $AR:BA = 1: (BA/AC \times 4)$となる。また、$BA = AR + RB$なので、$BA:AR = 4:1$だから、$BA/AR =4$。

したがって、$\frac{BA}{AR} = \frac{4}{1} = 4$。

$CQ:QB = 1:3$ なので、 $\frac{CQ}{QB} = \frac{1}{3}$。

これらをメネラウスの定理の式に代入すると、

$4 \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{RO}{OC} = \frac{3}{4}$

となる。

次に、三角形ACQと直線BRについてメネラウスの定理を用いる。

$\frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} \cdot \frac{AR}{RC} = 1$

問題文と図から、$AR:RC = 1:3$なので、$\frac{AR}{RC} = \frac{1}{3}$。

$BQ:QC = 3:1$ なので、$BC:BQ = 4:3$。したがって、$\frac{CB}{BQ} = \frac{4}{3}$。

これらをメネラウスの定理の式に代入すると、

$\frac{4}{3} \cdot \frac{QO}{OA} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{QO}{OA} = \frac{9}{4}$

となる。

したがって、$\frac{AO}{OQ} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

AO:OQ = 4:9