右の図のような三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AB, BCを図のような比に内分するとき、AO:ORを求めよ。図から、AQ:QB = 3:1, BR:RC = 2:1 である。

1. 問題の内容

右の図のような三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AB, BCを図のような比に内分するとき、AO:ORを求めよ。図から、AQ:QB = 3:1, BR:RC = 2:1 である。

2. 解き方の手順

この問題は、メネラウスの定理を利用して解くことができます。

メネラウスの定理とは、三角形ABCにおいて、直線lが辺BC, CA, AB (またはその延長線)とそれぞれP, Q, Rで交わるとき、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

が成り立つという定理です。

今回の問題では、三角形BCQと直線ARにメネラウスの定理を適用します。

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CA}{AO} \cdot \frac{OQ}{QB} = 1$

問題文より、BR:RC = 2:1なので、$\frac{BR}{RC} = \frac{2}{1} = 2$です。

また、AQ:QB = 3:1なので、$\frac{QB}{AQ} = \frac{1}{3}$です。よって、$\frac{AQ+QB}{AQ} = \frac{3+1}{3}$となり、$\frac{AB}{AQ} = \frac{4}{3}$となります。

したがって、$\frac{AQ}{AB} = \frac{3}{4}$です。

同様に考えると、$\frac{AB}{QB} = \frac{4}{1} = 4$です。

また、CA = CO + OA であり、求めるべき比はAO:ORであることに注意します。

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CA}{AO} \cdot \frac{OQ}{QB} = 1$を書き換えると、

$2 \cdot \frac{CO+OA}{AO} \cdot \frac{OQ}{QB} = 1$となります。

ここで、OQ/QBはまだわかっていません。

次に三角形ABRに直線COを適用してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$が成り立ちます。

$\frac{BC}{CR} = \frac{BR+RC}{CR} = \frac{2+1}{1} = 3$

$\frac{AQ}{QB} = 3$

なので、

$3 \cdot \frac{RO}{OA} \cdot 3 = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{1}{9}$

よって、$\frac{OA}{RO} = 9$

$OA = 9RO$となります。

AO:ORを求めたいので、AO = 9ORとなります。よって、AO:OR = 9:1です。

3. 最終的な答え

9:1