2次関数 $y = ax^2 - 2ax + 3$ ($0 \le x \le 3$) の最大値が9となるように、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 - 2ax + 3$ ($0 \le x \le 3$) の最大値が9となるように、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= a(x^2 - 2x) + 3 \\

&= a((x-1)^2 - 1) + 3 \\

&= a(x-1)^2 - a + 3

\end{align*}

軸は $x=1$ です。定義域 $0 \le x \le 3$ に軸が含まれているため、場合分けが必要です。

(1) $a > 0$ のとき

下に凸のグラフになり、軸 $x=1$ で最小値 $-a+3$ をとります。最大値は定義域の端点 $x=3$ でとります。

$x=3$ のとき、

\begin{align*}

y &= a(3-1)^2 - a + 3 \\

&= 4a - a + 3 \\

&= 3a + 3

\end{align*}

これが最大値9なので、

$3a + 3 = 9$

$3a = 6$

$a = 2$

これは $a > 0$ の条件を満たします。

(2) $a < 0$ のとき

上に凸のグラフになり、軸 $x=1$ で最大値 $-a+3$ をとります。

これが最大値9なので、

$-a + 3 = 9$

$-a = 6$

$a = -6$

これは $a < 0$ の条件を満たします。

(3) $a = 0$ のとき

$y = 3$ となり、最大値は3なので、条件を満たしません。

したがって、$a=2$ または $a=-6$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2, -6$