2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$)とするとき、以下の問いに答える。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $a^2 + b^2$、$a/b + b/a$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) 不等式 $|x - a| \le |b/a|$ ...①を解け。また、不等式①と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$)とするとき、以下の問いに答える。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $a^2 + b^2$、$a/b + b/a$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) 不等式 $|x - a| \le |b/a|$ ...①を解け。また、不等式①と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の解を求める。解の公式より、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ より、$a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2$ を求める。

$a^2 + b^2 = (2 - \sqrt{6})^2 + (2 + \sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$

$a/b + b/a$ を求める。

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{20}{(2-\sqrt{6})(2+\sqrt{6})} = \frac{20}{4 - 6} = \frac{20}{-2} = -10$

(3) 不等式 $|x - a| \le |b/a|$ を解く。

まず、$|b/a|$ を求める。

$\frac{b}{a} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}} = \frac{(2 + \sqrt{6})^2}{(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6})} = \frac{4 + 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{-2} = -5 - 2\sqrt{6}$

$|b/a| = |-5 - 2\sqrt{6}| = 5 + 2\sqrt{6}$

不等式 $|x - a| \le |b/a|$ は、

$|x - (2 - \sqrt{6})| \le 5 + 2\sqrt{6}$

$-(5 + 2\sqrt{6}) \le x - (2 - \sqrt{6}) \le 5 + 2\sqrt{6}$

$-(5 + 2\sqrt{6}) + (2 - \sqrt{6}) \le x \le (5 + 2\sqrt{6}) + (2 - \sqrt{6})$

$-3 - 3\sqrt{6} \le x \le 7 + \sqrt{6}$

$x$ の範囲はおよそ $-3 - 3(2.45) \le x \le 7 + 2.45$ より、$-10.35 \le x \le 9.45$

$k \le x \le k+3$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在する。$x$ の整数値は $-10, -9, ..., 8, 9$。

条件を満たすためには、区間 $[-3 - 3\sqrt{6}, 7 + \sqrt{6}]$ に含まれる整数解の範囲を考える必要がある。

$k \le x \le k+3$ は幅3の区間なので、これが整数値をちょうど2つ含むためには、

$-10.35 \le x \le 9.45$ の範囲で、$k$ が整数となるのは $-10$ から $6$ までとなる。

$k \le -10 \le k+3$ より、$-13 \le k \le -10$

$k \le -9 \le k+3$ より、$-12 \le k \le -9$

$k \le 8 \le k+3$ より、$5 \le k \le 8$

$k \le 9 \le k+3$ より、$6 \le k \le 9$

求める $k$ の範囲は、$6 < k \le 7$ かつ $k=-11$のとき。

$-3-3\sqrt{6} \le x \le 7+\sqrt{6}$ における整数値は、$x=-10, -9, \dots, 8, 9$ となる。$k$ が整数の場合、$k \le x \le k+3$ の幅は3なので、整数値を2個だけ含むためには、不等号が厳密でないといけない。

$k < -10 \le k+3$かつ、$k+3 < -9$ よって $k = -13 < k < -10.35$, and $-13 \le k < -10$, よって $k=-12, -11, -10$

または

$6 \le k < 7, k \le 9 \le k+3$, よって $k \ge 6$. $k<10$.

$6 \le k < 7$ かつ $6 < k < 7$.

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20, a/b + b/a = -10$

(3) $-3 - 3\sqrt{6} \le x \le 7 + \sqrt{6}, \quad 6 < k \le 7$