与えられた2つの2次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求め、その時の$x$の値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($-1 \le x < 2$) (2) $y = -x^2 + 6x$ ($0 < x \le 4$)

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求め、その時の$x$の値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($-1 \le x < 2$)

(2) $y = -x^2 + 6x$ ($0 < x \le 4$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x + 3$ について

まず、平方完成を行います。

$y = (x - 1)^2 - 1 + 3$

$y = (x - 1)^2 + 2$

このグラフは、下に凸の放物線であり、頂点は $(1, 2)$ です。

定義域 $-1 \le x < 2$ における最大値と最小値を考えます。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$

$x = 1$ のとき、$y = 2$ (頂点)

$x = 2$ のとき、$y = (2-1)^2+2=1+2=3$ ですが、$x < 2$ なので、$x=2$ のときの値は取りません。

よって、最小値は$x = 1$のとき $y = 2$ であり、最大値は $x = -1$ のとき $y = 6$ です。

(2) $y = -x^2 + 6x$ について

まず、平方完成を行います。

$y = -(x^2 - 6x)$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9)$

$y = -(x - 3)^2 + 9$

このグラフは、上に凸の放物線であり、頂点は $(3, 9)$ です。

定義域 $0 < x \le 4$ における最大値と最小値を考えます。

$x = 0$ のとき、$y = 0$ ですが、$x > 0$ なので、$x=0$ のときの値は取りません。

$x = 3$ のとき、$y = 9$ (頂点)

$x = 4$ のとき、$y = -4^2 + 6(4) = -16 + 24 = 8$

よって、最大値は$x = 3$のとき $y = 9$ であり、最小値はありません。$x$が$0$に限りなく近づくとき、$y$も$0$に限りなく近づくため最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $2$ ($x = 1$のとき), 最大値: $6$ ($x = -1$のとき)

(2) 最大値: $9$ ($x = 3$のとき), 最小値: なし