$G = -a^2 + 2a$ の最大値とそのときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$G = -a^2 + 2a$ の最大値とそのときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$G = -a^2 + 2a$ を平方完成する。

まず、$G = -(a^2 - 2a)$ と変形する。

次に、括弧の中を平方完成するために、$(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$ であることを利用する。

したがって、$G = -(a^2 - 2a) = -((a-1)^2 - 1) = -(a-1)^2 + 1$ となる。

$G = -(a-1)^2 + 1$ は、$(a-1)^2 \ge 0$ であるから、$-(a-1)^2 \le 0$ となり、

$G$ は $a=1$ のとき最大値をとる。

その最大値は $G = -(1-1)^2 + 1 = 1$ である。

3. 最終的な答え

$G$ の最大値は $1$ で、そのときの $a$ の値は $1$ である。