3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 2 = 0$ が $x=1$ と $x=-2$ を解として持つとき、実数 $a$, $b$ の値と、残りの解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 2 = 0$ が $x=1$ と $x=-2$ を解として持つとき、実数 $a$, $b$ の値と、残りの解を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1：解を代入する

$x=1$ と $x=-2$ が解なので、それぞれ方程式に代入して2つの式を得る。

$x=1$ を代入すると、

$1^3 + a(1)^2 + b(1) - 2 = 0$

$1 + a + b - 2 = 0$

$a + b = 1$ ...(1)

$x=-2$ を代入すると、

$(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 2 = 0$

$-8 + 4a - 2b - 2 = 0$

$4a - 2b = 10$

$2a - b = 5$ ...(2)

ステップ2：連立方程式を解く

式(1)と式(2)の連立方程式を解いて、$a$ と $b$ の値を求める。

式(1)より $b = 1 - a$ なので、これを式(2)に代入する。

$2a - (1 - a) = 5$

$2a - 1 + a = 5$

$3a = 6$

$a = 2$

$a = 2$ を式(1)に代入すると、

$2 + b = 1$

$b = -1$

したがって、$a = 2$ と $b = -1$ である。

ステップ3：3次方程式を書き出す

$a$ と $b$ の値を元の3次方程式に代入する。

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$

ステップ4：残りの解を求める

$x=1$ と $x=-2$ が解であることは分かっているので、$(x-1)(x+2) = x^2 + x - 2$ で3次式を割って残りの解を求める。

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x^2 + x - 2)(x + 1) = (x-1)(x+2)(x+1)$

したがって、残りの解は $x=-1$ である。

3. 最終的な答え

$a=2$, $b=-1$, 他の解は $x=-1$