与えられた2つの二次関数の指定された範囲における最大値と最小値を求め、その時の $x$ の値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($-1 \le x < 2$) (2) $y = -x^2 + 6x$ ($0 < x \le 4$)

1. 問題の内容

与えられた2つの二次関数の指定された範囲における最大値と最小値を求め、その時の $x$ の値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($-1 \le x < 2$)

(2) $y = -x^2 + 6x$ ($0 < x \le 4$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($-1 \le x < 2$)

まず、平方完成を行います。

$y = (x - 1)^2 + 2$

頂点は $(1, 2)$ で、下に凸な放物線です。

定義域は $-1 \le x < 2$ です。

$x = -1$ のとき $y = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$

$x = 1$ のとき $y = (1-1)^2 + 2 = 2$

$x = 2$ のとき $y = (2)^2 - 2(2) + 3 = 4-4+3 = 3$

$x = -1$ のとき最大値 $6$

$x = 1$ のとき最小値 $2$

$x=2$ のとき $y=3$ となるが、$x < 2$ なので $y=3$ は最大値ではない

(2) $y = -x^2 + 6x$ ($0 < x \le 4$)

平方完成を行います。

$y = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x - 3)^2 + 9$

頂点は $(3, 9)$ で、上に凸な放物線です。

定義域は $0 < x \le 4$ です。

$x = 3$ のとき $y = 9$

$x = 4$ のとき $y = -4^2 + 6(4) = -16 + 24 = 8$

$x=0$のとき、$y=0$

$x = 3$ のとき最大値 $9$

$x = 4$ のとき $y = 8$

$x=0$は定義域に含まれないため、最小値はない。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($-1 \le x < 2$)

- $x = -1$ のとき最大値 $6$

- $x = 1$ のとき最小値 $2$

(2) $y = -x^2 + 6x$ ($0 < x \le 4$)

- $x = 3$ のとき最大値 $9$

- 最小値はない