$x = 1$ と $x = -2$ が3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 2 = 0$ の解であるとき、実数 $a, b$ の値と、残りの解を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = 1$ と $x = -2$ が3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 2 = 0$ の解であるとき、実数 $a, b$ の値と、残りの解を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **ステップ1：** $x=1$ を方程式に代入する。

$1^3 + a(1)^2 + b(1) - 2 = 0$

$1 + a + b - 2 = 0$

$a + b = 1$ ...(1)

* **ステップ2：** $x=-2$ を方程式に代入する。

$(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 2 = 0$

$-8 + 4a - 2b - 2 = 0$

$4a - 2b = 10$

$2a - b = 5$ ...(2)

* **ステップ3：** 連立方程式(1)と(2)を解いて、$a$ と $b$ の値を求める。

(1) + (2) より

$(a+b) + (2a-b) = 1 + 5$

$3a = 6$

$a = 2$

$a=2$ を(1)に代入して、

$2 + b = 1$

$b = -1$

* **ステップ4：** $a=2$ と $b=-1$ を元の3次方程式に代入する。

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$

* **ステップ5：** $x=1$ と $x=-2$ が解であることから、$(x-1)$ と $(x+2)$ を因数に持つことがわかる。したがって、$x^3 + 2x^2 - x - 2$ は $(x-1)(x+2)$ で割り切れる。実際に割ってみる。

$(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$

$x^3 + 2x^2 - x - 2$ を $x^2+x-2$ で割ると、$x+1$ となる。

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x^2 + x - 2)(x+1) = (x-1)(x+2)(x+1)$

したがって、$x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x-1)(x+2)(x+1) = 0$ の解は $x = 1, -2, -1$ となる。

* **ステップ6：** したがって、他の解は $x=-1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -1$, 他の解は $x = -1$