正三角柱ABC-DEFにおいて、$BM = ME$, $CN = \frac{1}{2}NF$である。5点A,B,C,N,Mを頂点とする立体の体積をP、4点A,D,M,Nを頂点とする立体の体積をQ、5点D,M,N,F,Eを頂点とする立体の体積をRとする。このとき、体積比$P:Q:R$を最も簡単な整数の比で求めよ。

1. 問題の内容

正三角柱ABC-DEFにおいて、$BM = ME$, $CN = \frac{1}{2}NF$である。5点A,B,C,N,Mを頂点とする立体の体積をP、4点A,D,M,Nを頂点とする立体の体積をQ、5点D,M,N,F,Eを頂点とする立体の体積をRとする。このとき、体積比$P:Q:R$を最も簡単な整数の比で求めよ。

2. 解き方の手順

正三角柱ABC-DEFの底面である正三角形ABCの面積を$S$, 高さを$h$とする。

このとき正三角柱ABC-DEFの体積は$S \times h$となる。

$BM = ME$より、$BE = 2BM$、$ME = BM$

$CN = \frac{1}{2}NF$より、$CF = CN + NF = CN + 2CN = 3CN$、$CN = \frac{1}{3}CF$、$NF = \frac{2}{3}CF$

立体Pは三角錐台であると考えることができる。三角錐ABC-DEFを、底面ABCと平行な面で切り取られた立体である。

立体Pの体積は、三角錐ABCMNの体積として求められる。

三角錐ABCMNの体積は、底面ABCの面積を$S$、高さを$h'$とすると、$\frac{1}{3}S \times h'$となる。

立体Pの体積は、$P = \frac{1}{3} S \times \frac{1}{2}h \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18}Sh$

立体Qは四面体ADMNである。四面体ADMNの体積は、三角錐D-AMNの体積と考えることができる。

三角形AMNの面積は、三角形AEFの面積の$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$倍である。よって、三角形AMNの面積は$\frac{1}{3}S$である。高さはhなので、体積は$Q = \frac{1}{3} (\frac{1}{3}S) h = \frac{1}{9}Sh$

立体Rは四角錐DMNFEである。底面MNFEの面積は、正方形MNFEの面積の$\frac{2}{3}$倍である。正方形MNFEの面積は$\frac{1}{2} S$である。よって底面は$\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}S = \frac{1}{3} S$である。

高さはhなので、体積は$R = \frac{1}{3} (\frac{1}{3}S) h = \frac{1}{9}Sh$

$P:Q:R = \frac{1}{18}Sh : \frac{1}{9}Sh : \frac{1}{9}Sh$

$P:Q:R = \frac{1}{18} : \frac{1}{9} : \frac{1}{9} = 1:2:2$

3. 最終的な答え

1:2:2