放物線 $y^2 = 8x$ 上の点 $(2, 4)$ における接線を求め、その方程式を $y = ax + b$ の形で表す。

1. 問題の内容

放物線 $y^2 = 8x$ 上の点 $(2, 4)$ における接線を求め、その方程式を $y = ax + b$ の形で表す。

2. 解き方の手順

放物線 $y^2 = 8x$ の両辺を $x$ で微分すると、

$2y \frac{dy}{dx} = 8$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{8}{2y} = \frac{4}{y}$

点 $(2, 4)$ における接線の傾きは、

$\frac{dy}{dx} \Big|_{x=2, y=4} = \frac{4}{4} = 1$

したがって、接線の傾きは $1$ である。

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。ここで $(x_1, y_1) = (2, 4)$ であり、$m = 1$ である。したがって、

$y - 4 = 1(x - 2)$

$y = x - 2 + 4$

$y = x + 2$

3. 最終的な答え

$y = x + 2$