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2次方程式 $3x^2 + 8x + (-k+5) = 0$ が重解を持つときの $k$ の値または範囲を求める問題です。ただし、$k$ は定数です。

代数学二次方程式判別式重解
2025/6/24

1. 問題の内容

2次方程式 3x2+8x+(−k+5)=03x^2 + 8x + (-k+5) = 0 が重解を持つときの kk の値または範囲を求める問題です。ただし、kk は定数です。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 DD が D=0D=0 となることです。
2次方程式 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 の判別式 DD は、D=b2−4acD = b^2 - 4ac で表されます。
与えられた2次方程式は 3x2+8x+(−k+5)=03x^2 + 8x + (-k+5) = 0 なので、a=3a=3, b=8b=8, c=−k+5c=-k+5 です。
したがって、判別式 DD は
D=82−4(3)(−k+5)=64−12(−k+5)=64+12k−60=12k+4D = 8^2 - 4(3)(-k+5) = 64 - 12(-k+5) = 64 + 12k - 60 = 12k + 4
重解を持つ条件 D=0D=0 より、
12k+4=012k + 4 = 0
12k=−412k = -4
k=−412=−13k = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}

3. 最終的な答え

k=−13k = -\frac{1}{3}

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