画像にはいくつかの三角関数に関する問題が含まれています。 - 問題15(1): $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin \theta > \frac{1}{2}$ を解く。 - 問題15(2): $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos \theta \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ を解く。 - 問題16: $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $5 \sin \theta - 2 \cos^2 \theta + 4 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

画像にはいくつかの三角関数に関する問題が含まれています。

- 問題15(1): $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin \theta > \frac{1}{2}$ を解く。

- 問題15(2): $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos \theta \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ を解く。

- 問題16: $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $5 \sin \theta - 2 \cos^2 \theta + 4 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

問題15(1): $\sin \theta > \frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めます。これは $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。$\sin \theta$ は $\theta = \frac{\pi}{6}$ から $\theta = \frac{5\pi}{6}$ の間で $\frac{1}{2}$ より大きくなるので、解は $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ となります。

問題15(2): $\cos \theta \le \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ を求めます。これは $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ です。$\cos \theta$ は $\theta = 0$ から $\theta = \frac{\pi}{4}$ と $\theta = \frac{7\pi}{4}$ から $\theta = 2\pi$ の間で $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 以下となるので、解は $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{7\pi}{4}$となります。

問題16: $5 \sin \theta - 2 \cos^2 \theta + 4 = 0$

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ を用いて、式を $\sin \theta$ のみに書き換えます。

$5 \sin \theta - 2(1 - \sin^2 \theta) + 4 = 0$

$5 \sin \theta - 2 + 2\sin^2 \theta + 4 = 0$

$2 \sin^2 \theta + 5 \sin \theta + 2 = 0$

$(\sin \theta + 2)(2 \sin \theta + 1) = 0$

$\sin \theta = -2$ または $\sin \theta = -\frac{1}{2}$

$\sin \theta = -2$ となる $\theta$ は存在しません。

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。

3. 最終的な答え

問題15(1): $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$

問題15(2): $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{7\pi}{4}$

問題16: $\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$