数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式で定義されるとき、第3項から第5項 $(a_3, a_4, a_5)$ をそれぞれ求めます。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 4a_n + 1$ (2) $a_1 = -1, a_{n+1} = a_n + 2n$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式で定義されるとき、第3項から第5項 $(a_3, a_4, a_5)$ をそれぞれ求めます。

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 4a_n + 1$

(2) $a_1 = -1, a_{n+1} = a_n + 2n$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 4a_n + 1$

$a_2 = 4a_1 + 1 = 4(1) + 1 = 5$

$a_3 = 4a_2 + 1 = 4(5) + 1 = 21$

$a_4 = 4a_3 + 1 = 4(21) + 1 = 85$

$a_5 = 4a_4 + 1 = 4(85) + 1 = 341$

(2) $a_1 = -1, a_{n+1} = a_n + 2n$

$a_2 = a_1 + 2(1) = -1 + 2 = 1$

$a_3 = a_2 + 2(2) = 1 + 4 = 5$

$a_4 = a_3 + 2(3) = 5 + 6 = 11$

$a_5 = a_4 + 2(4) = 11 + 8 = 19$

3. 最終的な答え

(1) $a_3 = 21, a_4 = 85, a_5 = 341$

(2) $a_3 = 5, a_4 = 11, a_5 = 19$