与えられた3つの行列式の値を計算する問題です。 (1) $\begin{vmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & -5 & 7 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 8 & 13 & -1 \\ 6 & -9 & 6 \end{vmatrix}$ (3) $\begin{vmatrix} 12 & 16 & 32 \\ -6 & 13 & 4 \\ 15 & 10 & -20 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列式の値を計算する問題です。

(1) $\begin{vmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & -5 & 7 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

(2) $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 8 & 13 & -1 \\ 6 & -9 & 6 \end{vmatrix}$

(3) $\begin{vmatrix} 12 & 16 & 32 \\ -6 & 13 & 4 \\ 15 & 10 & -20 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 1列目で余因子展開する。

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & -5 & 7 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{21} + 3 \cdot C_{31} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ -5 & 7 \end{vmatrix} = 3 \cdot (0 \cdot 7 - 4 \cdot (-5)) = 3 \cdot (0 + 20) = 3 \cdot 20 = 60$

(2) 行列式の値を計算する。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 8 & 13 & -1 \\ 6 & -9 & 6 \end{vmatrix} = 2(13 \cdot 6 - (-1) \cdot (-9)) - 3(8 \cdot 6 - (-1) \cdot 6) + 5(8 \cdot (-9) - 13 \cdot 6) \\ = 2(78 - 9) - 3(48 + 6) + 5(-72 - 78) \\ = 2(69) - 3(54) + 5(-150) \\ = 138 - 162 - 750 \\ = -774$

(3) 1行目の4でくくり出す。

$\begin{vmatrix} 12 & 16 & 32 \\ -6 & 13 & 4 \\ 15 & 10 & -20 \end{vmatrix} = 4 \begin{vmatrix} 3 & 4 & 8 \\ -6 & 13 & 4 \\ 15 & 10 & -20 \end{vmatrix}$

次に3列目の4でくくり出す。

$4 \begin{vmatrix} 3 & 4 & 8 \\ -6 & 13 & 4 \\ 15 & 10 & -20 \end{vmatrix} = 4 \cdot 4 \begin{vmatrix} 3 & 4 & 2 \\ -6 & 13 & 1 \\ 15 & 10 & -5 \end{vmatrix} = 16 \begin{vmatrix} 3 & 4 & 2 \\ -6 & 13 & 1 \\ 15 & 10 & -5 \end{vmatrix}$

行列式を計算する。

$16[3(13 \cdot (-5) - 1 \cdot 10) - 4((-6) \cdot (-5) - 1 \cdot 15) + 2((-6) \cdot 10 - 13 \cdot 15)]$

$= 16[3(-65 - 10) - 4(30 - 15) + 2(-60 - 195)] \\ = 16[3(-75) - 4(15) + 2(-255)] \\ = 16[-225 - 60 - 510] \\ = 16[-795] \\ = -12720$

3. 最終的な答え

(1) 60

(2) -774

(3) -12720