三角形ABCにおいて、線分DEが線分BCと平行であり、$AD = 5$, $AE = 4$, $EC = 2$であるとき、$DB$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、線分DEが線分BCと平行であり、$AD = 5$, $AE = 4$, $EC = 2$であるとき、$DB$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

線分DEと線分BCが平行なので、三角形ADEと三角形ABCは相似である。

相似な三角形の対応する辺の比は等しいので、次の式が成り立つ。

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$

$AB = AD + DB$であり、$AC = AE + EC$なので、上の式に代入すると

$\frac{AD}{AD+DB} = \frac{AE}{AE+EC}$

$AD = 5$, $AE = 4$, $EC = 2$なので、これを代入すると

$\frac{5}{5+DB} = \frac{4}{4+2}$

$\frac{5}{5+DB} = \frac{4}{6}$

$\frac{5}{5+DB} = \frac{2}{3}$

両辺に$3(5+DB)$をかけると

$15 = 2(5+DB)$

$15 = 10 + 2DB$

$5 = 2DB$

$DB = \frac{5}{2} = 2.5$

3. 最終的な答え

$DB = 2.5$