三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを1:1に、点Rは辺ABを2:1に内分している。このとき、線分COと線分ORの長さの比 $CO:OR$ を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを1:1に、点Rは辺ABを2:1に内分している。このとき、線分COと線分ORの長さの比 $CO:OR$ を求める。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を三角形ABOと直線RCに適用する。

すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

となる。

問題文より $AR:RB = 2:1$, $AQ:QC = 1:1$ であるから、$AQ=QC=1$ とすると、$AC=2$である。

$AR=2, RB=1$

また、$BC = BO + OC$ なので、$BC = BO + CO$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{1} = 1$

$2BC \cdot OQ = CO$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO+CO}{CO} \cdot \frac{1}{1} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = \frac{2}{1} \cdot \frac{BO+CO}{CO} \cdot \frac{OQ}{1} = 1$

$2(BO+CO)OQ=CO \cdot QA$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{1}{1} = 1$

$2BC=CO$

$BC=\frac{CO}{2}$

ここで、$AO$を延長した線と辺$BC$が交わる点を$D$とする。すると、チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{1}{1}=1$

よって、$\frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}$

次に、$\triangle ABR$と直線$CO$に対してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{RC}{CB} \cdot \frac{BD}{DA} = 1$

$\triangle ABC$において、$AR:RB=2:1$、 $AQ:QC=1:1$であり、 $BC=BD+DC$であり、

$BD:DC=1:2$より、$BC=BD+2BD=3BD$

$BD=\frac{1}{3}BC$

$DC=\frac{2}{3}BC$

$\vec{AO} = s\vec{AC} + t\vec{AR} = s \vec{AC} + t\frac{2}{3} \vec{AB}$

ここで、$s+t=1$

$CO:OR$ を求める問題なので、

$\triangle ABC$にメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{OQ}{OA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3x}{x} \cdot \frac{OQ}{OA} = 1$

$AR/RB * BC/CQ * QA/AO =1$

3. 最終的な答え

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