三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを3:2に内分し、点Rは辺BCを1:3に内分する。線分ARと線分CQの交点をOとするとき、AO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを3:2に内分し、点Rは辺BCを1:3に内分する。線分ARと線分CQの交点をOとするとき、AO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を三角形BCRと直線CQに適用する。

$\frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$

問題の図から、$BC:CR = (1+3):3 = 4:3$, $AQ:QB = 3:2$ である。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{1}{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \frac{1}{2}$

$\frac{AO}{OR} = \frac{OA}{RO} = 2$

したがって、AO:OR = 2:1

3. 最終的な答え

2:1