三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを3:1に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分する。このとき、線分BQと線分CRの交点をOとする。CO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを3:1に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分する。このとき、線分BQと線分CRの交点をOとする。CO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くためには、チェバの定理とメネラウスの定理を利用する。

(1) チェバの定理を利用してBO:OQを求める。チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AR} = 1$

図から $AR:RB = 1:2$ なので $AR/RB = 1/2$ 。また、$AQ:QC = 3:1$ なので $AC:CQ = 4:1$ より、$BC/CQ = (BC)/(AC/4) = 4(BC/AC)$　また、$QA/AR = (AQ)/(AB/3) = (AQ)/(AC/4) = 3/1 = 3$. ここで $AC = AQ + QC$ より　$AC = 4 QC$ となる。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{3}{1} = 1$

$\frac{BC}{CQ} = \frac{2}{3}$

次に、メネラウスの定理を用いる。三角形ARQに対して、直線BCを適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CA} \cdot \frac{AQ}{QR} = 1$

メネラウスの定理を三角形ARCと直線BQに適用すると、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BR'} \cdot \frac{R'O}{OA} = 1$.

ただし、R'はABとBQの交点。

$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}$, $\frac{AQ}{QC} = \frac{3}{1}$

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BC}{CQ}\cdot \frac{QO}{OA}=1$

$\frac{CO}{OR}$を求めるためにメネラウスの定理を用いる。

三角形ABQに対して、直線CRを適用すると

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BC}{CQ}\cdot \frac{QO}{OA}=1$

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BO}{OQ}\cdot \frac{QC}{CA}=1$

$\frac{BC}{CR}=x/y$

メネラウスの定理を三角形ABQと直線CRに適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{1}{2}\cdot \frac{BC}{CQ}\cdot \frac{QO}{OB}=1$.

メネラウスの定理を三角形RBCと直線AQに適用すると、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

$AC = AQ + CQ = 3+1=4$

$\frac{RB}{BA} = 2/3$

次に、メネラウスの定理を三角形ABQに対して、直線CRを適用すると

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{1}{4} = 1$

$\frac{BO}{OQ} = 8$

次に、メネラウスの定理を三角形RACに対して直線BQを適用すると

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{OC}{OR} = 11$

3. 最終的な答え

CO:OR = 11:1