与えられた数列の和 $S$ を計算する問題です。数列は、$S = 2(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + 2(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + 2(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を計算する問題です。数列は、$S = 2(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + 2(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + 2(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$ で与えられています。

2. 解き方の手順

この数列は、部分分数分解された形の和であり、隣り合う項が打ち消し合う、いわゆるtelescoping sum（伸縮和）です。

まず、数列を展開して書くと、

$S = 2(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + 2(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + 2(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

$= 2 [ (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) ]$

ここで、括弧の中を見ると、$-\frac{1}{2}$ と $+\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{3}$ と $+\frac{1}{3}$、のように隣り合う項が打ち消しあっていることが分かります。結局、最初と最後の項だけが残ります。

$S = 2 ( \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} )$

$= 2 ( 1 - \frac{1}{n+1} )$

$= 2 ( \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} )$

$= 2 ( \frac{n+1 - 1}{n+1} )$

$= 2 ( \frac{n}{n+1} )$

$= \frac{2n}{n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{2n}{n+1}$