正の定数 $a$ が $0 \le x \le a$ を満たすとき、関数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ が $0 \le x \le a$ を満たすとき、関数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最大値を求める。

まず、関数 $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$

よって、関数 $f(x)$ は $x = 2$ を軸とする下に凸の放物線である。定義域 $0 \le x \le a$ における最大値を考える。

場合分けをする。

(i) $0 < a < 2$ のとき

$x = 0$ で最大値をとる。最大値は $f(0) = 0^2 - 4(0) + 5 = 5$

(ii) $a = 2$ のとき

$x = 0$ で最大値をとる。最大値は $f(0) = 5$

(iii) $a > 2$ のとき

$x = 0$ と $x = a$ のどちらかで最大値をとる。

$f(0) = 5$

$f(a) = a^2 - 4a + 5$

$f(a) - f(0) = a^2 - 4a + 5 - 5 = a^2 - 4a = a(a - 4)$

(a) $2 < a < 4$ のとき、 $f(a) - f(0) < 0$ より $f(a) < f(0)$ 。したがって、最大値は $f(0) = 5$

(b) $a = 4$ のとき、$f(a) - f(0) = 0$ より $f(a) = f(0)$ 。したがって、最大値は $f(0) = f(4) = 5$

(c) $a > 4$ のとき、$f(a) - f(0) > 0$ より $f(a) > f(0)$ 。したがって、最大値は $f(a) = a^2 - 4a + 5$

まとめると、

$0 < a \le 4$ のとき、最大値は $5$

$a > 4$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 5$

(2) 最小値を求める。

$f(x) = (x - 2)^2 + 1$ より、軸は $x = 2$ である。

場合分けをする。

(i) $0 < a < 2$ のとき

$x = a$ で最小値をとる。最小値は $f(a) = a^2 - 4a + 5$

(ii) $a \ge 2$ のとき

$x = 2$ で最小値をとる。最小値は $f(2) = (2 - 2)^2 + 1 = 1$

まとめると、

$0 < a < 2$ のとき、最小値は $a^2 - 4a + 5$

$a \ge 2$ のとき、最小値は $1$

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$0 < a \le 4$ のとき、$5$

$a > 4$ のとき、$a^2 - 4a + 5$

(2) 最小値

$0 < a < 2$ のとき、$a^2 - 4a + 5$

$a \ge 2$ のとき、$1$