2次不等式 $x^2 - 2x - 4 < 0$ を満たす整数 $x$ を全て求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 - 2x - 4 < 0$ を満たす整数 $x$ を全て求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 2x - 4 = 0$ を解きます。

解の公式を用いると、

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$$

したがって、$x = 1 + \sqrt{5}$ と $x = 1 - \sqrt{5}$ が方程式 $x^2 - 2x - 4 = 0$ の解です。

不等式 $x^2 - 2x - 4 < 0$ は、放物線 $y = x^2 - 2x - 4$ が $y < 0$ となる $x$ の範囲を求めることと同じです。放物線は下に凸なので、解は $1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$ となります。

$\sqrt{5}$ の近似値を求めます。$\sqrt{4} = 2$ で $\sqrt{9} = 3$ なので、$2 < \sqrt{5} < 3$ です。より正確には、$2.2^2 = 4.84$ で $2.3^2 = 5.29$ なので、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ となります。

したがって、$1 - 2.3 < 1 - \sqrt{5} < 1 - 2.2$ より $-1.3 < 1 - \sqrt{5} < -1.2$ となります。

また、$1 + 2.2 < 1 + \sqrt{5} < 1 + 2.3$ より $3.2 < 1 + \sqrt{5} < 3.3$ となります。

整数 $x$ は、$1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$ を満たす必要があります。

$-1.3 < x < 3.3$ より、整数 $x$ は $-1, 0, 1, 2, 3$ です。

3. 最終的な答え

$x = -1, 0, 1, 2, 3$