異なる6個の玉を、指定された条件で組に分ける場合の数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

異なる6個の玉を、指定された条件で組に分ける場合の数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 3個, 2個, 1個の3組に分ける。

6個から3個を選ぶ組み合わせは ${}_6C_3$通り。

残りの3個から2個を選ぶ組み合わせは ${}_3C_2$通り。

残りの1個は自動的に決まる。

したがって、求める場合の数は、

${}_6C_3 \times {}_3C_2 = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{2!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 3 = 20 \times 3 = 60$通り。

(2) 2個ずつの3組に分ける。

6個から2個を選ぶ組み合わせは ${}_6C_2$通り。

残りの4個から2個を選ぶ組み合わせは ${}_4C_2$通り。

残りの2個は自動的に決まる。

ただし、同じ個数の組なので、組の順番は区別しない。

したがって、組の並び順（3! = 6）で割る必要がある。

求める場合の数は、

$\frac{{}_6C_2 \times {}_4C_2}{3!} = \frac{\frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!}}{6} = \frac{\frac{6 \times 5}{2} \times \frac{4 \times 3}{2}}{6} = \frac{15 \times 6}{6} = 15$通り。

(3) A, Bの2組に分ける。ただし、0個の組があってもよいものとする。

それぞれの玉について、AかBのどちらかの組に入れるかの2通りの選択肢がある。

したがって、$2^6 = 64$通り。

(4) 2組に分ける。ただし、0個の組はないものとする。

(3)より、64通りある。

ここから、すべての玉がAに入る場合と、すべての玉がBに入る場合を除く必要がある。

したがって、$64 - 2 = 62$通り。

また、組に名前がついていないため、AとBを入れ替えた場合も同じ分け方とみなす必要がある。

したがって、$62 / 2 = 31$通り。

(5) 3組に分ける。ただし、0個の組はないものとする。

3組に分ける方法としては、

(4,1,1), (3,2,1), (2,2,2)の3パターンが考えられる。

(i) (4,1,1)の場合：

4個の組を選ぶ方法は${}_6C_4$通り。残りの2個から1個を選ぶ方法は${}_2C_1$通り。残りの1個は自動的に決まる。

ただし、1個の組は区別しないため、2!で割る必要がある。

${}_6C_4 \times {}_2C_1 / 2! = 15 \times 2 / 2 = 15$通り。

(ii) (3,2,1)の場合：

3個の組を選ぶ方法は${}_6C_3$通り。残りの3個から2個を選ぶ方法は${}_3C_2$通り。残りの1個は自動的に決まる。

${}_6C_3 \times {}_3C_2 = 20 \times 3 = 60$通り。

(iii) (2,2,2)の場合：

すでに(2)で計算済み。15通り。

合計すると、$15 + 60 + 15 = 90$通り。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 15通り

(3) 64通り

(4) 31通り

(5) 90通り